第6章解線性方程組的迭代法(已修改)
2024-08-06 06:24 本頁面
【正文】 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第 6章 解線性方程組的迭代法 直接法得到的解是理論上準(zhǔn)確的，但是我們可以看得出，它們的計(jì)算量都是 n3 數(shù)量級，存儲量為 n2量級，這在 n比較小的時(shí)候還比較合適（ n400），但是對于現(xiàn) 在的很多實(shí)際問題，往往要我們求解很大的 n的矩陣，而且這些矩陣往往是系數(shù)矩陣 就是這些矩陣含有大量的 0元素。對于這類的矩陣，在用直接法時(shí)就會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí) 間和存儲單元。因此我們有必要引入一類新的方法：迭代法。 迭代法具有的特點(diǎn)是速度快。與非線性方程的迭代方法一樣，需要我們構(gòu)造一 個(gè)等價(jià)的方程，從而構(gòu)造一個(gè)收斂序列，序列的極限值就是方程組的根 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 對方程組 bAx ? 做等價(jià)變換 gGxx ??bMNxMxNxbMxbxNMbAx 11)( ?? ??????????如：令 NMA ?? ，則 則，我們可以構(gòu)造序列 gxGx kk ??? )()1( 若 *)( xx k ? bAxgxGx ????? ** *同時(shí)： *)(** )()()1( xxGGxGxxx kkk ??????*)( )0(1 xxG k ??? ??0?? kG所以，序列收斂 與初值的選取無關(guān) 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定義 ：（收斂矩陣） 0?kG定理： 矩陣 G為收斂矩陣，當(dāng)且僅當(dāng) G的譜半徑 1 1)( 0 ??? GGk ?由 GG ?)(?知，若有某種范數(shù) 1?pG則，迭代收斂 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Jacobi迭代 ???????????nnnnnnnbxaxabxaxa???1111111??????????????????????????????)(1)(1)(1 11 112132312122211212111nnnnnnnnnnnnbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaax????數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ?????????????????????????????????)(1)(1)(1 )(11 )(11)1(2)(1)(323)(12122)1(21)(1)(21211)1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaax????格式很簡單： )(11)(11)()1(inijkjijijkjijiiki bxaxaax ???? ???????數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Jacobi迭代算法 輸入系數(shù)矩陣 A和向量 b，和誤差控制 eps x1={0,0,…..,0} , x2={1,1,…..,1} // 賦初值 while( ||A*x2b||eps) { x1=x2。 for(i=0。in。i++) { x2[i
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