64非線性方程組的數(shù)值解法(已修改)
2025-10-11 09:49 本頁面
【正文】 第六章非線性方程組的迭代解法 非線性方程組的數(shù)值解法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的不動點迭代法 第六章非線性方程組的迭代解法 第六章非線性方程組的迭代解法 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xfxfxfxF ))(),(),(()( 21 ?? 設(shè)含有 n個未知數(shù)的 n個方程的非線性方程組為 (6,4,1) 其中 為 n維列向量 ， 0)( ?xFTnxxxx ),( 21 ?? 非線性方程組的不動點迭代法 ),2,1)(( nixf i ?? 中至少有一個是 x的非線性函數(shù)，并假設(shè)自變量和函數(shù)值都是實數(shù)。多元非線性方程組()與一元非線性方程 f(x)=0具有相同的形式，可以與一元非線性方程并行地討論它的迭代解法。例如不動點迭代法和 Newton型迭代法。但是，這里某些定理的證明較為復(fù)雜，我們將略去其證明。 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xxxxx ))(,),(),(()( 21 ??? ???? () 并構(gòu)造不動點迭代法 ?,1,0),( )()1( ???? kxx kk () 把方程組 ()改寫成下面便于迭代的等價形式： 的解。 是方程組 從而 的不動點， 是迭代函數(shù) 即 滿足 連續(xù)函數(shù) .則 的 是自變量 是連續(xù)的 ,即 且 收斂， 若由此生成的序列 對于給定的初始點 ) 1 . 4 . 6 () ( ), ( , , , ) ( , ), ( ), ( ) ( , * * * * * 2 1 2 1 ) 0 ( x x x x x x x x x x x x x xn n f f ? ? ? f ? ? K ? ?kx *)(lim xx kk ???第六章非線性方程組的迭代解法 例 設(shè)有非線性方程組 ?????????????081008102122122121xxxxxxx() 把它寫成等價形式 ???????????????)8(101),()8(101),(1211212222212111xxxxxxxxxxx??并由此構(gòu)造不動點迭代法 ?????????????????]8)([101),(]8)()[(101),()(122)(1)(2)(12)1(22)(22)(1)(2)(11)1(1kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx???,1,0?k() 第六章非線性方程組的迭代解法 )(1kx)(2kx取初始點 。 計算結(jié)果列于表 6－ 9， 可見迭代收斂到方程的解 Tx )0,0()0( ?Tx )1,1(* ?表 69 k 0 1 2 … 18 19 0 … 0 … 函數(shù)也稱映射 ， 若函數(shù) 的定義域為 ， 則可用映射符號 簡便地表示為 。 為了討論不動點迭代法 （ ） 的收斂性 ， 先定義向量值函數(shù)的映內(nèi)性和壓縮性 。 )(x? nRD ?? nn RRD ??? :第六章非線性方程組的迭代解法 定義 設(shè)有函數(shù) 若 則稱 在D上是映內(nèi)的 ， 記做 ， 又若存在常數(shù) ， 使得 nn RRD ??? : DxDx ???? ,)( )(x?DD ?? )( )1,0(?LDyxyxLyx ??????? ,)()(則稱 在 D上是壓縮的 ， L稱為壓縮系數(shù) )(x? 壓縮性與所用的向量范數(shù)有關(guān) ， 函數(shù) 對某種范數(shù)是壓縮的 ， 對另一種范數(shù)可能不是壓縮的 。 )(x?定理 （ Brouwer不動點定理 ） 若 在有界凸集 上連續(xù)并且映內(nèi) ， 則 在內(nèi) 存在不動點 。 ? DD ?0?0D定理 （ 壓縮映射定理 ） 設(shè)函數(shù) 在閉集 上是映內(nèi)的 ， 并且對某一種范數(shù)是壓縮的 ， 壓縮系數(shù)為 L， 則 （ 1） 在 上存在唯一的不動點 。 （ 2） 對任何初值 迭代法 （ ） 生成的序列 且收斂到 ， 并且有誤差估計式 nn RRD ??? : DD ?0)(x? 0D
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1