64非線性方程組的數(shù)值解法-文庫吧
2025-08-27 09:49 本頁面
【正文】 *x0)0( Dx ? ? ? 0)( Dx k ?*x第六章非線性方程組的迭代解法 )1()(*)(1?????kkk xxLLxx例 對于例 ，設 試證：對任何初始點 ，由迭代法（ ）生成的序列的都收斂到方程（ 6,）在 中的唯一解 ? ?,:),( 21210 ???? xxxxD T0)0( Dx ?0D Tx )1,1(* ??0D證：首先容易算出 ， 對于任何 ， 都有 因此 ， 迭代函數(shù) 在 上是映內的 。 進而 ， 對于任何 都有 021 ),( Dxxx T ??),( 211 ?? xx? 2 8 7 ),(3 1 2 212 ?? xx?021 ),( Dxxx T ?? 021 ),( Dyyy T ??))(())((10 1)()( 2222111111 yxyxyxyxyx ??????? ??12211 )(103 yxyxyx ??????第六章非線性方程組的迭代解法 2222211122 101)()( yyxxyxyx ????? ??22122122122111101 yyxyxyxxyx ??????))(())(1(10 1 222211122 yxyxyyxx ??????)(101 2211 yxyx ???? yx ??從而 )()()()()()( 22211 yxyxyx ???? ??????? yx ?? 可見，函數(shù) 在上 是壓縮的。因此，由定理 知結論成立。 ?0D 以上討論了迭代法在 的收斂性 ， 下面討論局部收斂性 。 0D第六章非線性方程組的迭代解法 定義 設 為 的不動點 ， 若存在 的一個領域 ， 對一切 ， 由（ ）式產生的序列 且 ，則稱 具有局部收斂性。 *x *x DS ?Sx ?)0(?? ? Sx k ?)(*)(lim xx kk ???? ?)(kx則 稱為 p階收斂 。 定義 設 收斂于 ， 存在常數(shù) 及常數(shù) c0,使 ? ?)(kx *x 2?pcxxxxkkk?????? *)(*)1(l i m ? ?)(kx定理 設 ， 為 的不動點 ， 若存在開球 ， 常數(shù) ， 使 則由 ()產生的序列 局部收斂至 nn RRD ??? : 0* Dx ? ?? ? DxxxxSS ????? ?? ** :),( )1,0(?LSxxxLxx ??????? ,)()( **? ?)(kx *x證：任給 ， 一般的 ， 設 ， 即 ， 則 Sx ?)0( Sx k ?)( ??? *xx)()(( *)(*)1( xxxx kk ?????? ?? ???? LxxL k *)(第六章非線性方程組的迭代解法 得知 ， 從而有 。 于是 ， 由定義 迭代法 （ ） 在點 處局部收斂 。 定理得證 。 與單個方程的情形類似 ， 有時可以用關于導數(shù)的條件代替壓縮條件來判別收斂性 0lim *)( ???? xx kk *)(lim xx kk ???*x?定理 設 ， 在 D內有一不動點 ， 且 在 處可導 ， 且譜半徑 ， 則迭代法 （ ） 在點 處局部收斂 ， 其中 ， 函數(shù) 的導數(shù)為 Jacobi矩陣 （ 見 *式 ） 利用譜半徑與范數(shù)的關系 ， 我們可用 代替定理 nn RRD ??? : *x ? *x1))(39。( * ??? ?? x *x)(x?AA ?)(? ? ? 139。 * ?? x1))(39。( * ?? x?第六章非線性方程組的迭代解法 ? ?? ? ? ? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnTnT
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