線性方程組的求解方法與應(yīng)用-文庫(kù)吧
2025-03-24 02:05 本頁(yè)面
【正文】 ....................................53 線性方程組的求解方法 6 一般消元法 6 克拉默法則 6 克拉默法則求解具備的條件 6 克拉默法則 6 分解法 94 線性方程組的應(yīng)用 13 線性方程組在幾何學(xué)中的應(yīng)用 13 線性方程組在高次方程理論中的應(yīng)用 14 線性方程組在化學(xué)中的應(yīng)用 155 總結(jié)與展望......................................................................................................................16致 謝 17參考文獻(xiàn) 18 1 緒言本課題闡述與線性方程組有關(guān)的求解方法及其廣泛應(yīng)用，線性方程組是貫穿大學(xué)線性代數(shù)的一個(gè)重要工具,它是貫穿向量、矩陣的橋梁. 國(guó)內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)學(xué)家對(duì)線性方程組也做了不少的研究，并且取得了顯著的科研成果. 課題背景線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)科的一個(gè)重要分支，早在中世紀(jì)就開始了對(duì)線性代數(shù)的研究. 而方程組理論則是代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要方向，也是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一. 關(guān)于線性方程組的求解，最早記錄在公元初《九章算術(shù)》中，在解決一些比較復(fù)雜的問(wèn)題上有一定的局限性. 本文主要運(yùn)用了一般消元法、克拉默法則、我們解決這些問(wèn)題所選擇的方法也不盡相同，這些相關(guān)的問(wèn)題都需要我們?nèi)ソ鉀Q. 在現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算中的許多問(wèn)題，例如生活中的營(yíng)養(yǎng)搭配問(wèn)題、電路問(wèn)題均與線性方程組的求解有關(guān). 課題研究的目的和意義課題研究的意義：(1) 給出線性方程組的一些求解方法，使讀者對(duì)線性方程組有更深層次的了解；(2) 線性方程組的應(yīng)用與我們的生活息息相關(guān)，特別是與我們的飲食健康、經(jīng)濟(jì)平衡聯(lián)系的比較緊密，我們可用它解決生活中的一些基本問(wèn)題。 國(guó)內(nèi)外概況對(duì)于線性方程組求解方法的研究，數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到各學(xué)科之中，甚至滲入到我們的日常生活中. 而我們所學(xué)線性方程組的理論知識(shí)，我們需要確定所需目標(biāo)，并對(duì)此目標(biāo)作出一系列的決策，這些決策中的關(guān)鍵要素就是我們重點(diǎn)研究的對(duì)象.。 2 預(yù)備知識(shí) 線性方程組的定義 形如 （）的方程組的叫做線性方程組.其中，代表個(gè)未知量，是方程的個(gè)數(shù)，稱為方程組的系數(shù)，稱為常數(shù)項(xiàng)；系數(shù)的第一個(gè)指標(biāo)表示它在第個(gè)方程，第二個(gè)指標(biāo)表示它是的系數(shù).常記為 .其中，當(dāng)線性方程組的右端全為零時(shí)，該線性方程組就稱為齊次線性方程組；當(dāng)線性方程組的右端不全為零時(shí)，該線性方程組就稱為非齊次線性方程組. 線性方程組有解判別定理 線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與它的增廣矩陣有相同的秩.證明：不妨先引入向量 （）于是定理中的線性方程組就可以寫成 （） 很明顯，該線性方程組有解得充要條件是向量可以由向量組線性表出，定理證明過(guò)程如下：必要性 假設(shè)該線性方程組有解，那么就是說(shuō)向量是向量組的線性組合，從而可以得到與向量組等價(jià)，又已知等價(jià)的向量組有相同的秩，故這兩個(gè)向量組有相同的秩. 并且這兩個(gè)向量組分別是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的列向量組. 所以，系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩.充分性 假設(shè)系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，那么它們的列向量組與有相同的秩，可以假設(shè)是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，故向量可以由線性表出，再加上等個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，可以知道向量可以經(jīng)線性表出. 所以，該線性方程組有解. 證畢 線性方程組解的結(jié)構(gòu)在上一節(jié)，我們解決了線性方程組有解的判別條件之后，我們這一節(jié)還需要探討一下線性方程組解的結(jié)構(gòu). 齊次線性方程組的性質(zhì)對(duì)于齊次線性方程組 （）它的解所構(gòu)成的集合有以下兩個(gè)重要性質(zhì)：性質(zhì)1:兩個(gè)解的和還是方程組的解.假設(shè)與是該線性方程組的兩個(gè)解. 即將這兩個(gè)解代入到方程組中，每個(gè)方程都變成了恒等式. , , 將這兩個(gè)解的和代入到該線性方程組中，可以得到 . （）這就說(shuō)明了兩個(gè)解的和還是方程組的解. 證畢性質(zhì)2：一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.設(shè)是該線性方程組的一個(gè)解，則有 . （）將這個(gè)解的倍代入到方程組中，就可以得到 . （）這就說(shuō)明了一個(gè)解的倍數(shù)還是方程組的解.
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