【正文】 iniriinirixcxcdxxcxcdxxcxcdx?????????????????????????????????112111,21,2211,11(10) nr ii xx ,1 ??1 ,rniikk?于是，給予未知量 以任意一組數(shù)值 ，就得到（ 9）的一個解： nnrrnrrnriiiiirnirrriinirikxkxxckcdxkckcdx?????????????????????????????????111111,11,11nr ii kk ,1 ??nr ii xx ,1 ??這也是（ 1）的一個解 . 由于 可以任意選取，用這一方法可以得到（ 1）的無窮 多解 . 另一方面，由于（ 9）的任一解都必須滿足 （ 10），所以（ 9）的全部解，亦即（ 1）的全部解 都可以用以上方法得出 . 我們把未知量 叫做自由未知量，而把（ 10）叫做方程組（ 1）的 一般解 . 05631242725432143214321????????????xxxxxxxxxxxx例 2 解線性方程組 這樣，線性方程組（ 1）有沒有解，以及有怎樣的解，都可以從矩陣（ 7）看出 . 因此，我們完全可以就方程組（ 9）的增廣矩陣來解這個方程組 . ??????????????056311241271215??????????????11216707243214005631 施行行初等變換，并且注意，我們是要把其中所含 的系數(shù)矩陣先化為（ 5），再化為（ 6）的形式 . 由 第一和第二行分別減去第三行的 5 倍和 2 倍，然后 把第三行換到第一行的位置，得 解： 對增廣矩陣 由第二行減去第三行的 2倍，得 ?????????????11216705000005631雖然我們還沒有把增廣矩陣化成（ 5）的形式，但已 可看出，相當于最后矩陣的線性方程組中的一個方程是 0 = 5 所以原方程無解 . ?????????????????????215921823213104251321215928232342532432143214214321??????????????????xxxxxxxxxxxxxxx例 3 解線性方程組 解： 這里的增廣矩陣是 ????????????????????266120013360013360051321繼續(xù)施行行初等變換，這一矩陣可以化為 ??????????????00000000006132110051321這個矩陣本質上已有（ 5）的形式，這一點只要交換 矩陣的第二和第三兩列就可以看出 . 進一步由第一 行減去第二行的三倍，得出相當于（ 6）型的矩陣 把第一行的適當倍數(shù)加到其它各行，得 ???????????????? ??0000000000613211002321021613212321243421??????xxxxx對應的線性方程組是 42 , xx434212161321223xxxxx??????把 移到右邊，作為自由未知數(shù)，得原方程組 的一般解： 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法 k階子式、矩陣秩的定義用初等變換求矩 陣的秩 線性方程組可解的判別法 : 1)理解矩陣秩的定義 2)會用初等變換求矩陣的秩 3)會用消元法解線性方程組 : 矩陣秩的定義 線性方程組的可解的判別法 k階子式、 矩陣秩的定義 用初等變換求矩陣的秩 在上一節(jié)課講述了用消元法來解線性方程組： .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????????????????????(1) 這個方法在實際解方程組是比較方便的，但是我們還有幾個問題沒解決。 簡化為以下形式一個矩陣 （甲） 利用初等變換把方程組（ 1）的系數(shù)矩陣 ??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211（ 2） ?????????????????????????00001000001000011,21,211,1??????????????????????????????????rnrrnrnrcccccc（ 3） 并且看到，在矩陣（ 3）中出現(xiàn)的整數(shù) r在討論中占有重要的地位 . 但是我們對這個整數(shù)還沒有什么了解 . r 和系數(shù)矩陣（ 2）究竟有什么關系？它是由系數(shù)矩陣（ 2）所唯一決定的，還是依賴于所用的初等變換？因為我們可以用不同的初等變換，把系數(shù)矩陣（ 2）化為形如（ 3）的矩陣 . （乙） 方程組（ 1）有解時，它的系數(shù)應該滿足什么條件？ （丙） 我們沒有得出，用方程組的系數(shù)和常數(shù)項來表示解的公式，而解的公式在理論上有重要的意義 . 100010001???????矩陣的秩 利用一個矩陣的元素可以構成一系列的行列式 . . 位于這些行列交點處的元素（不改變元素相對的位置）所構成的 k 階行列式叫作這個矩陣的一個 k階子式 . 我們看一看，在矩陣（ 3）中出現(xiàn)的整數(shù) r和這個矩陣的子式之間有些什么關系 . 假定 r0 . 這時，矩陣（ 3）含有一個 r 階的子式： ),( tksk ??定義 1 在一個 s行 t列的矩陣中，任取 k行 k列 定義 2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個矩陣的秩 . 若一個矩陣沒有不等于零的子式，就認為這個矩陣的秩是零 . 按照定義，一個矩陣的秩的不能超過這個矩陣的行的個數(shù)，也不能超過它的列的個數(shù) . 一個矩陣 A的秩用秩 A來表示 . 顯然，只有當一個矩陣的元素都為零是，這個矩陣的秩才能是零 . 這個子式不等于零 . 但矩陣（ 3）不含階數(shù)高于 r的不等于零的子式 . 這是因為；在 r = m 或 r = n 時，矩陣（ 3）根本不含階數(shù)高于 r的子式；而當 r m ， r n 時，矩陣（ 3）的任何一個階數(shù)高于 r的了式都至少含有一個元素全為零的行，因而必然等于零 . 這樣， r等于矩陣（ 3）中的不等于零的子式的最大階數(shù) . 證明 我們先說明以下事實：若是對一個矩陣 A施行某一行或列的初等變換而等到矩陣 B，那么對 B施行同一種初等變換又可以得到 A. 事實上，若是交換 A的第 i行與第 j行而得到 B，那么交換 B 的第 i行與第j列就得到 A；若是把 A的第 i行乘以一不等于零的數(shù)a而得到 B，那么將 B的第 i行乘以 1/a就又可以得到 A；若是把 A的第 j行乘以數(shù) k加到第 i行得到 B，那么 B的第 j行乘以 – k加到第 i行就得到 A. 列的初等變換的情形顯然完全一樣 . 現(xiàn)在我們就用第三種行初等變換來證明定理 . 定理 初等變換不改變矩陣的秩 . ??????????????????????????????????????????????????????????????????????jnjjninjijnjiniaakaakaaBaaaaA11111,并且 A 的秩是 r . 我們證明， B 的秩也 是 r . 先證明，B 的秩不超過 r . 設矩陣 B 有 s 階子式 D，而 s r . 那么有三種可能的情形 : ① D不含第 i 行的元素，這時 D也是矩陣 A的一個 s階子式，而 s大于 A的秩 r ，因此 D= 0. 設把一矩陣的第 j 行乘以 k加到第 i行而得到矩陣 B： ??????????????????????????????????sssjtjtititjtjtjtitjtitaaaaaakaakaaD1111111????因為后一行列式是矩陣 A的一個 s階子式 . ② D含第 i行的元素，也含第 j行的元素 . 這時，由命題 21111kDDkaakaaDsjtitjtit??????????????????????????????????????sjtjtititaaDaaD111 21??這里 1D 2D由于 是矩陣 A的一個 s階的子式，而 與 A的 一個 s 階子式最多差一個符號，所以這兩個行列式都等于零， 從而 D = 0 . ③ D含第 i行的元素，但不含第 j行的元素，這時 BA 秩秩 ?但我們也可以對矩陣 B 施行第三種行初等變換而得到 矩陣 A. 因此，也有 AB 秩秩 ?因此，在矩陣 B有階數(shù)大于 r的子式的情形， B 的任何 這樣的子式都等于零，而 B的秩也不超過 r . 這樣，在任何情形，都有 這樣，我們也就證明了，秩 A = 秩 B ，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩 . 對于其它的初等變換來說，我們可以完全類似地證明定理成立 . 這樣，我們就解決了前面的第一個問題（甲） . 定理 ，不必計算一個矩陣 A的 子式就能求出 A的秩來 . 我們只需利用初等變換 把 A化成 （ 5）型的矩陣，然后數(shù)一數(shù)，在 化得的矩陣有幾個含有非零的元素的行 . 這樣， 問題（乙）也就容易解決 . 線性方程組可解的判別法 A 表示方程組（ 1）的增