【正文】 為 n維列向量 ， 0)( ?xFTnxxxx ),( 21 ?? 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ),2,1)(( nixf i ?? 中至少有一個(gè)是 x的非線性函數(shù)，并假設(shè)自變量和函數(shù)值都是實(shí)數(shù)。 0D第六章非線性方程組的迭代解法 定義 設(shè) 為 的不動(dòng)點(diǎn) ， 若存在 的一個(gè)領(lǐng)域 ， 對(duì)一切 ， 由（ ）式產(chǎn)生的序列 且 ，則稱 具有局部收斂性。)()( )(*)()(* kjkk xxxFxFxF ???)(39。 *xF (2)Newton迭代序列 在 S上收斂于 ，且是超線性收斂 。 *xF，），（法有按 ）（ TxN e w t o n 4 3 8 4 6 1 5 3 3 8 4 6 1 5 3 ?Tk x ),(.10 )0(5 ?? ? 若取是奇異的，取阻尼因子 ?。 )( kk xFN e w t o nA是困難的。因此，為了確定矩陣 1?kA個(gè)未知量）。kkTkkkTkkkTkkkkTk yBsssvyBvsuAv 22221 1)(111 ????? ?),(1)(1 22221kkkkkkkkkkk syBssAyBsuA ?????第六章非線性方程組的迭代解法 ）可改寫成于是，方法（ ）（。這是具有次后有步的計(jì)算，如此迭代接著再進(jìn)行第N e w t o nxkT12,),(111)11( ??多得多。1 )0(0)0( xFAxB t o y d e n 可取為給定，方法，其中的初始值秩稱之為或單位矩陣。通常?。┓Q為擬（ ??? mmmN e w t o n)(1)(,1 。這兩個(gè)實(shí)根是第六章非線性方程組的迭代解法 。 當(dāng) 選的很合適時(shí) ， 阻尼 Newton法時(shí)線性收斂的 。 可見 ， Newton法的收斂速度比例 法 （ ） 要快的多 。xxxxxx?,0D *x0D ? ? 39。 （ 2） 對(duì)任何初值 迭代法 （ ） 生成的序列 且收斂到 ， 并且有誤差估計(jì)式 nn RRD ??? : DD ?0)(x? 0D *x0)0( Dx ? ? ? 0)( Dx k ?*x第六章非線性方程組的迭代解法 )1()(*)(1?????kkk xxLLxx例 對(duì)于例 ，設(shè) 試證：對(duì)任何初始點(diǎn) ，由迭代法（ ）生成的序列的都收斂到方程（ 6,）在 中的唯一解 ? ?,:),( 21210 ???? xxxxD T0)0( Dx ?0D Tx )1,1(* ??0D證：首先容易算出 ， 對(duì)于任何 ， 都有 因此 ， 迭代函數(shù) 在 上是映內(nèi)的 。 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xxxxx ))(,),(),(()( 21 ??? ???? () 并構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ?,1,0),( )()1( ???? kxx kk () 把方程組 ()改寫成下面便于迭代的等價(jià)形式： 的解。 與單個(gè)方程的情形類似 ， 有時(shí)可以用關(guān)于導(dǎo)數(shù)的條件代替壓縮條件來判別收斂性 0lim *)( ???? xx kk *)(lim xx kk ???*x?定理 設(shè) ， 在 D內(nèi)有一不動(dòng)點(diǎn) ， 且 在 處可導(dǎo) ， 且譜半徑 ， 則迭代法 （ ） 在點(diǎn) 處局部收斂 ， 其中 ， 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 Jacobi矩陣 （ 見 *式 ） 利用譜半徑與范數(shù)的關(guān)系 ， 我們可用 代替定理 nn RRD ??? : *x ? *x1))(39。( 1)()1( ???? ?? kxFxFxx kk （ ) )0(x )( )(1 kk xx ???其中 是給定的初值向量 。 ** ?? ?)(kx *x 雖然 Newton法具有二階局部收斂性 ， 但它要求 非奇異 。因?yàn)榇卫}的維數(shù)太收斂，但收斂是線形的 N e w t o n第六章非線性方程組的迭代解法 作用，反而使迭代法不僅沒有顯示出它的從而阻尼 Ne w t on法是線形收斂的。有的實(shí)際問題可以憑求解的足夠小的鄰域內(nèi) 非線性方程組的 Newton法 第六章非線性方程組的迭代解法 )()()()( )()1()()1(1 kkkkk xFxFxxA ??? ???11 39。記nTkkTkkk RvuvuAAk ???? ,1 其中總可以表示為的矩陣秩為，則由此可解出若 0?kTk sv有代入和述 kkk Auv ?。逆 B r o y d e n 。????????????124212)(39。向量由即 ,