64非線性方程組的數值解法-展示頁
2024-10-12 09:49本頁面
【正文】 211122 yxyxyyxx ??????)(101 2211 yxyx ???? yx ??從而 )()()()()()( 22211 yxyxyx ???? ??????? yx ?? 可見，函數 在上 是壓縮的。 ? DD ?0?0D定理 （ 壓縮映射定理 ） 設函數 在閉集 上是映內的 ， 并且對某一種范數是壓縮的 ， 壓縮系數為 L， 則 （ 1） 在 上存在唯一的不動點 。 )(x? nRD ?? nn RRD ??? :第六章非線性方程組的迭代解法 定義 設有函數 若 則稱 在D上是映內的 ， 記做 ， 又若存在常數 ， 使得 nn RRD ??? : DxDx ???? ,)( )(x?DD ?? )( )1,0(?LDyxyxLyx ??????? ,)()(則稱 在 D上是壓縮的 ， L稱為壓縮系數 )(x? 壓縮性與所用的向量范數有關 ， 函數 對某種范數是壓縮的 ， 對另一種范數可能不是壓縮的 。 計算結果列于表 6－ 9， 可見迭代收斂到方程的解 Tx )0,0()0( ?Tx )1,1(* ?表 69 k 0 1 2 … 18 19 0 … 0 … 函數也稱映射 ， 若函數 的定義域為 ， 則可用映射符號 簡便地表示為 。 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xxxxx ))(,),(),(()( 21 ??? ???? () 并構造不動點迭代法 ?,1,0),( )()1( ???? kxx kk () 把方程組 ()改寫成下面便于迭代的等價形式： 的解。例如不動點迭代法和 Newton型迭代法。第六章非線性方程組的迭代解法 非線性方程組的數值解法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的不動點迭代法 第六章非線性方程組的迭代解法 第六章非線性方程組的迭代解法 學習目標： 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xfxfxfxF ))(),(),(()( 21 ?? 設含有 n個未知數的 n個方程的非線性方程組為 (6,4,1) 其中 為 n維列向量 ， 0)( ?xFTnxxxx ),( 21 ?? 非線性方程組的不動點迭代法 ),2,1)(( nixf i ?? 中至少有一個是 x的非線性函數，并假設自變量和函數值都是實數。多元非線性方程組()與一元非線性方程 f(x)=0具有相同的形式，可以與一元非線性方程并行地討論它的迭代解法。但是，這里某些定理的證明較為復雜，我們將略去其證明。 是方程組 從而 的不動點， 是迭代函數 即 滿足 連續(xù)函數 .則 的 是自變量 是連續(xù)的 ,即 且 收斂， 若由此生成的序列 對于給定的初始點 ) 1 . 4 . 6 () ( ), ( , , , ) ( , ), ( ), ( ) ( , * * * * * 2 1 2 1 ) 0 ( x x x x x x x x x x x x x xn n f f ? ? ? f ? ? K ? ?kx *)(lim xx kk ???第六章非線性方程組的迭代解法 例 設有非線性方程組 ?????????????081008102122122121xxxxxxx() 把它寫成等價形式 ???????????????)8(101),()8(101),(1211212222212111xxxxxxxxxxx??并由此構造不動點迭代法 ?????????????????]8)([101),(]8)()[(101),()(122)(1)(2)(12)1(22)(22)(1)(2)(11)1(1kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx???,1,0?k() 第六章非線性方程組的迭代解法 )(1kx)(2kx取初始點 。 為了討論不動點迭代法 （ ） 的收斂性 ， 先定義向量值函數的映內性和壓縮性 。 )(x?定理 （ Brouwer不動點定理 ） 若 在有界凸集 上連續(xù)并且映內 ， 則 在內 存
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