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64非線性方程組的數(shù)值解法-展示頁(yè)

2024-10-12 09:49本頁(yè)面
  

【正文】 211122 yxyxyyxx ??????)(101 2211 yxyx ???? yx ??從而 )()()()()()( 22211 yxyxyx ???? ??????? yx ?? 可見(jiàn),函數(shù) 在上 是壓縮的。 ? DD ?0?0D定理 ( 壓縮映射定理 ) 設(shè)函數(shù) 在閉集 上是映內(nèi)的 , 并且對(duì)某一種范數(shù)是壓縮的 , 壓縮系數(shù)為 L, 則 ( 1) 在 上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn) 。 )(x? nRD ?? nn RRD ??? :第六章非線性方程組的迭代解法 定義 設(shè)有函數(shù) 若 則稱 在D上是映內(nèi)的 , 記做 , 又若存在常數(shù) , 使得 nn RRD ??? : DxDx ???? ,)( )(x?DD ?? )( )1,0(?LDyxyxLyx ??????? ,)()(則稱 在 D上是壓縮的 , L稱為壓縮系數(shù) )(x? 壓縮性與所用的向量范數(shù)有關(guān) , 函數(shù) 對(duì)某種范數(shù)是壓縮的 , 對(duì)另一種范數(shù)可能不是壓縮的 。 計(jì)算結(jié)果列于表 6- 9, 可見(jiàn)迭代收斂到方程的解 Tx )0,0()0( ?Tx )1,1(* ?表 69 k 0 1 2 … 18 19 0 … 0 … 函數(shù)也稱映射 , 若函數(shù) 的定義域?yàn)? , 則可用映射符號(hào) 簡(jiǎn)便地表示為 。 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xxxxx ))(,),(),(()( 21 ??? ???? () 并構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ?,1,0),( )()1( ???? kxx kk () 把方程組 ()改寫(xiě)成下面便于迭代的等價(jià)形式: 的解。例如不動(dòng)點(diǎn)迭代法和 Newton型迭代法。第六章非線性方程組的迭代解法 非線性方程組的數(shù)值解法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的 Newton法 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法 第六章非線性方程組的迭代解法 第六章非線性方程組的迭代解法 學(xué)習(xí)目標(biāo): 第六章非線性方程組的迭代解法 Tn xfxfxfxF ))(),(),(()( 21 ?? 設(shè)含有 n個(gè)未知數(shù)的 n個(gè)方程的非線性方程組為 (6,4,1) 其中 為 n維列向量 , 0)( ?xFTnxxxx ),( 21 ?? 非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ),2,1)(( nixf i ?? 中至少有一個(gè)是 x的非線性函數(shù),并假設(shè)自變量和函數(shù)值都是實(shí)數(shù)。多元非線性方程組()與一元非線性方程 f(x)=0具有相同的形式,可以與一元非線性方程并行地討論它的迭代解法。但是,這里某些定理的證明較為復(fù)雜,我們將略去其證明。 是方程組 從而 的不動(dòng)點(diǎn), 是迭代函數(shù) 即 滿足 連續(xù)函數(shù) .則 的 是自變量 是連續(xù)的 ,即 且 收斂, 若由此生成的序列 對(duì)于給定的初始點(diǎn) ) 1 . 4 . 6 () ( ), ( , , , ) ( , ), ( ), ( ) ( , * * * * * 2 1 2 1 ) 0 ( x x x x x x x x x x x x x xn n f f ? ? ? f ? ? K ? ?kx *)(lim xx kk ???第六章非線性方程組的迭代解法 例 設(shè)有非線性方程組 ?????????????081008102122122121xxxxxxx() 把它寫(xiě)成等價(jià)形式 ???????????????)8(101),()8(101),(1211212222212111xxxxxxxxxxx??并由此構(gòu)造不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ?????????????????]8)([101),(]8)()[(101),()(122)(1)(2)(12)1(22)(22)(1)(2)(11)1(1kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx???,1,0?k() 第六章非線性方程組的迭代解法 )(1kx)(2kx取初始點(diǎn) 。 為了討論不動(dòng)點(diǎn)迭代法 ( ) 的收斂性 , 先定義向量值函數(shù)的映內(nèi)性和壓縮性 。 )(x?定理 ( Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理 ) 若 在有界凸集 上連續(xù)并且映內(nèi) , 則 在內(nèi) 存
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