[理學(xué)]44線性方程組的結(jié)構(gòu)-展示頁(yè)
2024-10-23 17:26本頁(yè)面
【正文】 ?001121? ,???????????????????010312? .?????????????????100123?得 故原方程組的通解為 .332211 ??? kkkX ???., 321 為任意常數(shù)其中 kkk例 設(shè) 分析 ,0)1( 2443 ??? BA求一個(gè) 4 2的矩陣 B,使 AB=0,且 R(B)=2. ????????????????341122121221A,0),( 21 ?? bbA,0,0 21 ??? AbAb的解是齊次方程 0, 21 ?? AXbb2)(),()2( 21 ?? BRbbR線性無關(guān)21 , bb?0?AX問題轉(zhuǎn)為求齊次方程 的 2個(gè)線性無關(guān)的解 解 ????????????????341122121221A???????????????????00003421035201).,( 43 可任意取值xx???????????,342,352432431xxxxxx,0?AX解齊次方程 ).,( 43 可任意取值xx??????????,342,352432431xxxxxx,0143?????????????????xx令,01221?????????????????,30????????及,30452?????????????????令 即為 2個(gè)線性無關(guān)的解， 為基礎(chǔ)解系 ?????????????????30014252B 即可 . 與 AX = 0 基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系． 證 ,0,21 的一個(gè)基礎(chǔ)解系是方程組設(shè) ?AXt??? ?, 2121的向量組等價(jià)的線性無關(guān)是與 ??? tnaaa ??線性無關(guān)）（ aaa n,1 21 ?證明： .0, 21 的解都是故 ?AXaaa t?,2 2121 線性表示可由）（ ??? ttaaa ??,03 的任一解為方程組）設(shè)（ ?AX?, 21 線性表示可由則 ???? t?., 21 線性表示也可由 aaa t???nBRAROBA nsmn ??? )()(, 證明設(shè),O?,0, 21 的解是 ?? AXbbb s?)( ARn ??證明： nBRAR ??? )()(的基礎(chǔ)解系線性表示可由 0, 21 ?? AXbbb s?)(),( 21 基礎(chǔ)解系RbbbR s ?? ?)(BR),( 21 sbbbB ??令),( 21 sbbbAAB ?? ),( 21 sAbAbAb ??例： 例 1證 明：21的秩階 矩 陣設(shè) ???? )(),()(An *ARnnAR證 .)( d e t,d e t)( * OIAAAAnAR ????? 于是：0知1由 ，.)()( * nARAR ??有 1所以 ??? )()( * ARnAR, 階 子式不 為 零1中有知1又由 ??? nAnR ( A ).)(, ** 1便有0因而 ?? ARA.)(, * 1所以 ?AR注 : 這道題結(jié)合前邊 85頁(yè)講過的例題 5一起討論了一個(gè)矩陣的伴隨矩陣的秩 ,是一個(gè)典型的例題 . ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????2211222221211121211111 ??? ? mnnm bXA 非 齊次線性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211向量表示 何時(shí) 無解 ? 何時(shí)有 唯一解 ? 何時(shí)有 無窮多解 ? ? ? ? ? ；時(shí)，方程組有無窮多解當(dāng) nbARAR ?? ,.1? ? ? ? .,.2 時(shí)，方程組有唯一解當(dāng) nbARAR ??定理 設(shè) A = (?1, ?2, …, ?n)， 則下列命題等價(jià) ： 1o b?L(?1, ?2, …, ?n)。 ).(),( ARbAR ?3o 證明 A(?1 ?2 ) 性質(zhì) 1 設(shè) ?1 , ?2 為 AX = b 的解，則 ?1 ?2為其導(dǎo)
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