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[理學]44線性方程組的結(jié)構(gòu)-展示頁

2024-10-23 17:26本頁面
  

【正文】 ?001121? ,???????????????????010312? .?????????????????100123?得 故原方程組的通解為 .332211 ??? kkkX ???., 321 為任意常數(shù)其中 kkk例 設(shè) 分析 ,0)1( 2443 ??? BA求一個 4 2的矩陣 B,使 AB=0,且 R(B)=2. ????????????????341122121221A,0),( 21 ?? bbA,0,0 21 ??? AbAb的解是齊次方程 0, 21 ?? AXbb2)(),()2( 21 ?? BRbbR線性無關(guān)21 , bb?0?AX問題轉(zhuǎn)為求齊次方程 的 2個線性無關(guān)的解 解 ????????????????341122121221A???????????????????00003421035201).,( 43 可任意取值xx???????????,342,352432431xxxxxx,0?AX解齊次方程 ).,( 43 可任意取值xx??????????,342,352432431xxxxxx,0143?????????????????xx令,01221?????????????????,30????????及,30452?????????????????令 即為 2個線性無關(guān)的解, 為基礎(chǔ)解系 ?????????????????30014252B 即可 . 與 AX = 0 基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系. 證 ,0,21 的一個基礎(chǔ)解系是方程組設(shè) ?AXt??? ?, 2121的向量組等價的線性無關(guān)是與 ??? tnaaa ??線性無關(guān))( aaa n,1 21 ?證明: .0, 21 的解都是故 ?AXaaa t?,2 2121 線性表示可由)( ??? ttaaa ??,03 的任一解為方程組)設(shè)( ?AX?, 21 線性表示可由則 ???? t?., 21 線性表示也可由 aaa t???nBRAROBA nsmn ??? )()(, 證明設(shè),O?,0, 21 的解是 ?? AXbbb s?)( ARn ??證明: nBRAR ??? )()(的基礎(chǔ)解系線性表示可由 0, 21 ?? AXbbb s?)(),( 21 基礎(chǔ)解系RbbbR s ?? ?)(BR),( 21 sbbbB ??令),( 21 sbbbAAB ?? ),( 21 sAbAbAb ??例: 例 1證 明:21的秩階 矩 陣設(shè) ???? )(),()(An *ARnnAR證 .)( d e t,d e t)( * OIAAAAnAR ????? 于是:0知1由 ,.)()( * nARAR ??有 1所以 ??? )()( * ARnAR, 階 子式不 為 零1中有知1又由 ??? nAnR ( A ).)(, ** 1便有0因而 ?? ARA.)(, * 1所以 ?AR注 : 這道題結(jié)合前邊 85頁講過的例題 5一起討論了一個矩陣的伴隨矩陣的秩 ,是一個典型的例題 . ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????2211222221211121211111 ??? ? mnnm bXA 非 齊次線性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211向量表示 何時 無解 ? 何時有 唯一解 ? 何時有 無窮多解 ? ? ? ? ? ;時,方程組有無窮多解當 nbARAR ?? ,.1? ? ? ? .,.2 時,方程組有唯一解當 nbARAR ??定理 設(shè) A = (?1, ?2, …, ?n), 則下列命題等價 : 1o b?L(?1, ?2, …, ?n)。 ).(),( ARbAR ?3o 證明 A(?1 ?2 ) 性質(zhì) 1 設(shè) ?1 , ?2 為 AX = b 的解,則 ?1 ?2為其導(dǎo)
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