【正文】 ????????????????????????????11, 2 , .. .,101i inl?????? ??????第 i行第 1列 西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) Step k. After k1 eliminations, we have ( ) ( )kkA x b?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 1 1 1 111 12 1 1 112 2 2 222 2 2 2 2knknk k kkk k k n kk k knnk nn na a a a bxa a a x bxa a bxa a b? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?let Suppose () 0kkka ? ( ) ( )kkik ik k kl a a?lik*(k)+(i), i=k+1,…, n ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 1 1 111 12 1 112 2 222 2 2211 1 111 1 1 111nnk k k kkk k k k k n kk k kkk k k n kkknnn na a a bxa a bxxa a a bxa a bxab?? ? ??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) ( 1 )kkA x b???西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) lik* row k+ row i, i=k+1,…, n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 1 1 1 111 12 1 1 12 2 2 222 2 2 2knknkkk k kk k k n kk k knk nn na a a a ba a a bAba a ba a b???????? ???????初等行變換 ,相當(dāng)于左乘初等行變換矩陣 Leave alone Need to be updated ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1 1 1 111 12 1 12 2 222 2 21111 1 11 1 1 11 1 11nnkk k k k kk k k k k n kk k kk k k n kk k knk nn na a a ba a bAb a a a ba a ba a b???? ? ?? ? ? ?? ? ?????????? ?????????Directly replace with 0 第 i行第 k列 1111ikl???????????????formulae ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( )11, 1 , .. ., , 1 , .. ., 1 , .. .,kkik ik k kk k kij ij ik k jk k ki i ik kl a a i k na a l a i j k nb b l b i k n??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?k=1,… n1 ? ? ? ? ? ? ? ?11k k k kkA b L A b??? ? ? ??? ? ? ?k=1,… n1 111 111 1... ...1 111 11kkiknklll????? ?????? ?????? ??????? ??????? ??? ????????對角線元素全為 1，非對角線上除第 i行第 k列元素為 lik外其余元素全為 0 11111kkknkLll????????????????消 元 過 程 西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 要使 Gauss消去法能夠進(jìn)行下去，必須有約化后的主對角元素非零，即 矩陣 A在什么條件下能夠保證此條件成立？ ? ? 0 , 1 , .. .,iiia i n??Lemma 1 ? ?0 , 1 , .. .,iiia i k?? A的順序主子式 11 110 , 1 , .. .,iii iiaaD i kaa? ? ?西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) (nk) k k k,det=Di k k,det=1 k k,det= ? ? ? ? ? ?1211 22 iiia a a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1 111 12 1 12 2 222 2 2knknkkkk k k nkknk nna a a aa a aAaaaa????????????? 0k (nk) 證明要點(diǎn) ? ? ? ? ? ?121 1 2 2 , 1 , ...,iii ia a a D i k??? ? ? ?121 1 2 1 2 1kkk k k k kL A L L A L L L A??? ? ? ? ?? ? ? ?2111 1 131 3211 2 3 111 2 3111111knk k kk k k k kn nnn n n nkla a allaal l l laal l l l???????? ???????????? ? ? ?????? ? ? ?????西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) Inference ? ?? ?111 110 , 1 , , 2 , ,i i iiiiaDD i n Da i nD?? ??? ? ?? ????Theorem 1 可通過 Gauss消去法將線性方程組化為三角方程組 0A ?西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 列主元 Gauss column/row/plete pivoting 行主元 ? ?? ? ? ?11 k j j kx x x n x x x n k jk j n j k n? ? ? ???? ? ? ??完全主元 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111 12 1 1 1 12222 2kkkkkkkkk j j nkkkkkk k k j k j k nkki k i nkkik ijkkkknk nj nj nna a a a a aaaaaaaAbaaaaaaaa?????????????????????????1 kTk j j nx x x x x????? ?? ?? ?? ?? ?11kkkkikiknbbbbb????????????????????????????????????西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 1/2 2行 +3行 2,3行互換 列主元 列主元 例1 用 Gauss列主元消去法解方程組 1232 1 2 55 1 1 81 3 4 4xxx? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 2 55 1 1 81 3 4 4?????? ? ???Solution: 消元 回代求解： 112x????????????1,2行互換 5 1 1 82 1 2 51 3 4 4? ? ???? ? ???2/5 1行 +2行 1/5 1行 +3行 5 1 1 80 1 .4 1 .6 1 .80 2 .8 4 .2 5 .6? ? ???? ? ???5 1 1 80 2 .8 4 .2 5 .60 1 .4 1 .6 1 .8? ? ???? ? ???5 1 1 80 2 .8 4 .2 5 .60 0 0 .5 1? ? ???? ? ?????西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) 方程的根x 對角線下方元素 對角線上方元素 假設(shè)已是列主元，否則在對角線下方選列主元，做行置換 GaussJordan消去法 — 無 回代過程的列主元消去法： Gauss列主元消去法只消去對角線下方的元素， GaussJordan消去法同時(shí)消去對角線下方和上方的元素 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?1 1 12 2 211k k kknk k kknkkk k kk k k n kk k knk nn na a ba a bAba a ba a b???????? ??? ????????設(shè)已經(jīng)過 k1步 GJ消元，得到 第 k步消元 formulae ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?( ) ( )1111, 1 , ... , , 1 , ... , , , 1 , ... , 1 , ... , ,0 , 1 , ... , , 1 , ... ,1kkik ik k kk k kij ij ik k jk k ki i ik kkikk k kk j k j k kk k kk k k kkkkl a a i n i ka a l a i n i k j k nb b l b i n i ka i n i ka a a j k nb b aa????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ???GJ消元過程k=1,… n ? ? ? ?? ?? ?1111111nnnnnbA b I xb?????????? ? ? ? ???????西安電子科技大學(xué)理學(xué)院 主講 : 王衛(wèi)衛(wèi) ? ? ? ? ? ?11111[]1111kkkkkkkknklAball?????? ????????????????????GaussJordan消去法能夠進(jìn)行下去的條件和前面一