【正文】 axaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa???????????????444434241334333231224232221114131211baaaabaaaabaaaabaaaaA以四階為例： 其系數(shù)增廣矩陣為： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????????)()()()()()()()()()()()()(1414414314213134133132121241231221141312111baaabaaabaaabaaaaA)0( 11 ?a第一輪消元： ?計算 3個數(shù) : [m21 m31 m41]T = [a21 a31 a41]T / a11 ?用 m21乘矩陣第一行后加到矩陣第二行 。 ?用 m41乘矩陣第一行后加到矩陣第四行 。 ?用 m42乘矩陣第二行后加到矩陣第四行 。 其系數(shù)增廣矩陣變?yōu)椋? 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????????????????)()()()()()()()()(3443442342343233124124312321221414313212111bxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa其對應(yīng)的上三角方程組為 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 若對于一般的線性方程組 Ax=b，其消元過程的計算公式為 ： （ k=1,2,… ,n1） ?????????????????????????),1(),1,(),1()1()1()()1()1()()1(nkibmbbnkjiamaankiaamkkikkikikkjikkijkijkkkikik???）（記 ijij aa ?)0(《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 回代過程 (解上三角方程組 ) ? 上三角方程組的一般形式為： 其中 a11… ann≠0 ???????????????nnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa???????2222211212111《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????????????????)1,2,1()(1?niaxabxabxiinijjijiinnnn? 回代過程的計算公式： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 工作量計算： ?消去過程： ?“247?！保?n ?“”： 1+2+……+( n1)=n(n1)/2 ?總工作量： S2=n+ n(n1)/2= n(n+1)/2 ?????????????????????????),1(),1,(),1()1()1()()1()1()()1(nkibmbbnkjiamaankiaamkkikkikikkjikkijkijkkkikik???1(), ( 1 , , 2 , 1 )ni ij jjinnin n iib a xbx x i naa???? ? ? ??（ k=1,2,… ,n1） 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 故 Gauss消元法的總工作量為： S=S1+S2 =n(n1)/2+ (n3n)/3+ n(n+1)/2 = n2+(n3n)/3 若用克萊姆法則求解，則工作量為： “ ”： （ n+1個 n階行列式的值） (n+1)(n1)n! “ 247。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 定理： 約化的主元素 ak+1,k+1(k) ≠ 0 (k=0,1,即 01111??kkkkkaaaaD?????注： 對角線上的元素 ak+1,k+1(k)在 Gauss消元法中作用突出，稱約化的主元素。,n1)，則 Gauss消元法中的約化主元可以表示為 1 1 1()1 , 1 1 / ( 2 , 3 , . . . , 1 )kk k k kaDa D D k n? ? ?????? ? ???《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ???????????????????????????????32563034253432321xxx??????????32303452536432?????????????2022306432??????????????42006432???????????????????????????????????4462432321xxx x1= 13, x2 = 8, x3 = 2 m21=3/2 m31=4/2 m32= 3/ 例 用高斯消元法求解方程組 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 矩陣的三角分解 : ???????????????1111211nmmL??對線性方程組 Ax=b的系數(shù)矩陣 A施行初等行變換相當于用初等矩陣左乘 A，故第一次消元后方程組化為 A(1)x=b(1)，即 L1Ax=A(1)x， L1b=b(1)，其中 同理 LkA(k1)=A(k) Lkb(k1)=b (k) ?????????????????????????11111,1,knkkkmmL???其中 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?將 A 分解為單位下三角矩陣 L 和上三角矩陣 U的乘積的算法稱為矩陣 A的 三角分解算法 。 213 1 3 21 2 31111n n nmL m mm m m???????????由 Gauss消元過程可推得 U即為 Gauss消元后所得的上三角方程的系數(shù)矩陣。 解 由 Gauss消元法可得， m21=0， m31=2， m32= 1 故 ??????????? 112010001????????????200140111A= =LU 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 如果已經(jīng)有 A = L U 則 AX = b = L U X = b， （ 1）求解方程組 LY = b 得向量 Y 的值； （ L 是下三角矩陣，用順代算法） （ 2）求解方程組 UX = Y 得向量 X 的值。最好每一步選取系數(shù)矩陣中（或消元后的低階矩陣中）絕對值最大的元素作主元，以具較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 ??????????1002300520220《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 《 方法二 》 交換行，避免絕對值小的主元作除數(shù)。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 設(shè) Ax＝ b的增廣矩陣為 ????????????nnnnnnnbaaabaaabaaa????????21222221111211在 A的第一列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i1行，交換第一行與第 i1行，進行第一次消元；再在第 2－ n行的第二列中選絕對值最大的元素作主元，設(shè)該元素所在行為第 i2行，交換第二行與第 i2行，進行第二次消元， …… 直到消元過程完成為止。P2P1( P2F1P2)A （因 P2P1 2121~ PFPF ? 則有 1211~ ?? ?? FFL若記APFFU ???? 12 ~LUPA ?可得《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 對于一般的 n階矩陣的列主元三角分解，通常令 12 PPPP n ?? )(1122111????nn FPFPFPPL ?)( nAU ?LUPA ?定理： （列主元素的三角分解定理）若 A非奇異，則存在排列陣 P使 PA＝ LU，其中 L為下三角陣， U為上三角陣。 經(jīng)過行列互換，使得 位于經(jīng)交換行和列 后的等價方程組中的 位置，然后再實施消元。 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ? 直接三角分解法：若將 A分解為 LU的積，則求Ax＝ b等價于求解兩個三角形方程組： （ 1） Ly＝ b，求 y； （ 2） Ux＝ y，求 x。, u1n=a1n m21u11=a21, , m21u1n+ u2n=a2n m21=a21/u11, , u2n=a2n m21u1n m31u12+ m32u22=a32, , mn2=(an2 mn1u12)/u22 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ?????11krrjkrkjkj umau kkkrrkirikik uumam /)(11?????矩陣 L和矩陣 U的元素計算公式： 計算秩序如圖所示： 1 2 3 4 5 6 用 Doolittle分解法求解線性方程組 Ax＝ b的具體計算公式如下： 《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬 ??????????????????????????????????????????????)1,2,1(/)(/)5(),3,2()4(),1,。,3,2()2(),3,2(/),2,1()1(111111111111111????????nniuxuyxuyxniymbybynkkinkuumamnkkjnkumauniuamnjauiinirririinnnnirririikkkrrkirikikkrrjkrkjkjiijj《 計算方法 》 第三章 解線性方程組的直接法 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 房秀芬