【正文】 ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?( ) ( )kkA x b?() 0kkka ? ( ) ( )/ ( 1 , , )kkik ik k km a a i k m? ? ?ikm? k( 1 , , )i i k m?? 1k?m kx ( 1 ) ( 1 )kkA x b???( 1 ) ( ) ( ) ( 1 , , 。 一般情況討論如下： 將 記為 (1)設 令 ，用 乘方程 組的第 1個方程加到第 個方程 ，消去從第 2 個方程到第 個方程中的未知數(shù) ，得到與原方程組 等價的方程組： Ax b? ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ), ( ) ( ) ,i j i jA x b A a a b b? ? ? ?(1)11 0a ? ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1/ ( 2 , 3 , , )iim a a i m?? 1im?i ( 2 , 3 , , )im?m 1x( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 1 1 2 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )200nnnm m n mxa a a bxa a bAxa a b? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? 高斯消去法 簡記為 其中 (2) 依上述方法對 繼續(xù)消元，經過 步以 后，得到與原方程組等價的方程組 (1)設 令 ，用 乘方程 組的第 1個方程加到第 個方程 ，消去從第 2 個方程到第 個方程中的未知數(shù) ，得到與原方程組 等價的方程組： (1)11 0a ? ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1/ ( 2 , 3 , , )iim a a i m?? 1im?i ( 2 , 3 , , )im?m 1x( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 1 1 2 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )200nnnm m n mxa a a bxa a bAxa a b? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?(2 ) (2 )A x b?( 2 ) ( 1 ) ( 1 )11 ( 2 , , 。 定理 4 (Jordan標準型 ) 設 為 階矩陣，則存在一個 非奇異矩陣 使得 ,其中 為若當塊 (1) 當 的若當標準型中所有若當塊 均為一階時， 此標準型變?yōu)閷切? (2)如果 的特征值各不相同，則其若當標準型必為 對角陣 nnRA ?? ),2,1(0)d e t( nkAk ???A ),2,1(0 nii ???? AA nP11221()()()rrJJP A PJ?????????????111iiiiiJ???????????????A iJA12( , , , )nd ia g ? ? ? 引言與預備知識 設有線性代數(shù)方程組 或寫為矩陣形式 , 其中 為若當塊 (1) 當 的若當標準型中所有若當塊 均為一階時， 此標準型變?yōu)閷切? (2)如果 的特征值各不相同，則其若當標準型必為 對角陣 A iJA12( , , , )nd ia g ? ? ?1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??Ax b? 高斯消去法 設有線性代數(shù)方程組 或寫為矩陣形式 , 其中 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??Ax b????????????????????????????????????????mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,系數(shù)矩陣 未知向量 右端項 高斯消去法 ? 高斯消去法的例 考慮方程組 解 ：經過消元可得： ???????????????????????????????????????mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,系數(shù)矩陣 未知向量 右端項 1 2 3231 2 36 (1 )4 5 ( 2 )2 2 1 ( 3 )x x xxxx x x? ? ??? ???? ? ? ?? 高斯消去法 ? 高斯消去法的例 考慮方程組 解 ：經過消元可得： 從而得到解為： 上述過程相當于： 1 2 3231 2 36 (1 )4 5 ( 2 )2 2 1 ( 3 )x x xxxx x x? ? ??? ???? ? ? ??1 2 32336 ( 4 )4 5 ( 5 )2 6 ( 6 )x x xxxx? ? ??? ???? ? ? ??* (1, 2, 3)Tx ?1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6( ) 0 4 1 5 0 4 1 5 0 4 1 52 2 1 1 0 4 1 1 1 0 0 2 6Ab? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 高斯消去法 即對增廣矩陣進行行初等變換，將系數(shù)矩陣部分化為 上三角矩陣，使原方程組等價于一個三角形方程組， 然后用回代的方法求出三角形方程組的解。 定理 4 (Jordan標準型 ) 設 為 階矩陣，則存在一個 非奇異矩陣 使得 ,其中 定理 2 設 為對稱正定矩陣，則 (1) 為非奇異矩陣，且 亦是對稱正定矩陣； (2) 記 為 的順序主子陣，則 亦是對 稱正定矩陣，其中 見上面框內。 (3) (4) 存在 (5) 的秩 定理 2 設 為對稱正定矩陣，則 (1) 為非奇異矩陣，且 亦是對稱正定矩陣； (2) 記 為 的順序主子陣，則 亦是對 稱正定矩陣，其中 見上面框內。 1）低階稠密矩陣 2）大型稀疏矩陣 解線性方程組的數(shù)值解法有直接法和迭代法兩類 預備知識 1）向量和矩陣的定義 2）矩陣的基本運算 3）特殊矩陣 4）四個基本定理 向量和矩陣的定義 用 表示全部 實矩陣的向量空間； nmR ? nm????????????????? ?mnmmnnijnmaaaaaaaaaaARA???????212222111211)( 引言與預備知識 用 表示全部 復矩陣的向量空間； 用 表示全部 維向量； 1）向量和矩陣的定義 2）矩陣的基本運算 3）特殊矩陣 4）四個基本定理 向量和矩陣的定義 用 表示全部 實矩陣的向量空間； nmR ? nm????????????????? ?mnmmnnijnmaaaaaaaaaaARA???????212222111211)(nmC? nm?nR n???????????????nnxxxxRx?21???????????????? ?mnmmnnijnmcccccccccCCCC???????212222111211)( 引言與預備知識 用 表示全部 復矩陣的向量空間； 用 表示全部 維向量； ? 矩陣的基本運算 加法，與標量的乘法，與矩陣的乘法，轉置， 逆矩陣，求行列式 ? 特殊矩陣 單位陣，對角陣，三對角陣，上三角陣，對稱陣， 上 Hessenberg陣， Hermite陣，對稱正定矩陣， 正交矩陣，酉矩陣，初等置換陣，置換陣 nmC? nm?nR n???????????????nnxxxxRx?21???????????????? ?mnmmnnijnmcccccccccCCCC???????212222111211)( 引言與預備知識 定理 1 設 ，則下述命題等價： (1) 對任何 ，方程組 有唯一解； (2) 齊次方程組 只有唯一解 。第五章 解線性方程組的直接法 引言與預備知識 高斯消去法 高斯主元消去法 矩陣三角分解法 向量和矩陣的范數(shù) 誤差分析 引言與預備知識 自然科學和工程技術中有很多問題的解決需要用到 線性方程組的求解。 這些線性方程組的系數(shù)矩陣大致可分為兩類。 (3) (4) 存在 (5) 的秩 ? 矩陣的基本運算 加法，與標量的乘法，與矩陣的乘法，轉置， 逆矩陣，求行列式 ? 特殊矩陣 單位陣，對角陣，三對角陣，上三角陣，對稱陣， 上 Hessenberg陣， Hermite陣，對稱正定矩陣， 正交矩陣，酉矩陣，初等置換陣，置換陣 nnRA ??nRb? bAx?Ax O? xO?0)det( ?