[理學(xué)]線性代數(shù)與解析幾何第五章線性方程組-展示頁
2024-10-25 21:32本頁面
【正文】 。(2)線性無關(guān) 。 (2) AX = 0 的任一解都可由這組解線性表示 . 稱 n r n rk k k ??? ? ? ?X ξ ξ ξ1 1 2 2的 通解 為 AX = 0 （其中 k1,k2,…, knr為任意常數(shù) ). 齊次線性方程組的關(guān)鍵問題就是 求通解 而求通解的關(guān)鍵問題是 求基礎(chǔ)解系 . ,且滿足 ： 10 定理 設(shè) , ()mn Rr? ?AA任一基礎(chǔ)解系中均含有 n – r 解向 量 ,為 N(A)的一個(gè)基 ,即 rn?(1)若 則 AX = 0沒有基礎(chǔ)解系 。1 《 線性代數(shù)與空間解析幾何 》 哈工大數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室 王 寶 玲 線性方程組 第五章 2 ?齊次方程組 ?非 齊次方程組 ?方程組在幾何中的應(yīng)用 本章的主要內(nèi)容 3 00)0(nnnnm m m n na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 21 一 般 形 式 ：T( ) , ( , , , )()i j m n na x x x????AXAX 122 0矩 形 式 ：其 中陣 齊次線性方程組 齊次線性方程組的表示形式 4 (3) 1 1 2 2 0nnx x x? ? ?? ? ? ?向 量 形 式 ：( , , , )12120nnxxx? ? ??????? ???????即 12,jjjmjaaa????????????????5 ?只有零解的充要條件 ； ?無窮多解的充要條件 ； ? 解的性質(zhì)及解集合的結(jié)構(gòu) ； ?求解方法 . 齊次方程組的 內(nèi)容 6 證 AX = 0 有非零解 ? x1?1+x2?2+…+ xn?n =0有非零解 ? A的列向量組 ?1,?2 ,…, ?n線性相關(guān) ? r(A)= r(?1,?2 ,…, ?n)n. 設(shè) 階矩陣 , 則齊次性方程組 AX= 0 有非零解 ? r(A)n。 AX= 0 只有零解 ? r(A)=n. mn?A定理 齊次線性方程組有解的條件 AX = 0只有零解 ? x1?1+x2?2+…+ xn?n =0只 有零解 ? A的列向量組 ?1,?2 ,…, ?n線性無關(guān) ? r(A)= r(?1,?2 ,…, ?n)=n. 7 ?若有非零解 , 這些解具有哪些性質(zhì) ? ?解集合的整體結(jié)構(gòu)如何 ? 問題 () ? ? ? ?A ξ ξ A ξ A ξ1 2 1 2 0( ) ( )kk ??A ξ A ξ 0也 是 AX=0 的解 . k? ξ,ξ ξ12 ,??A ξ A ξ1200由 是 AX=0的解 , 即 性質(zhì) 1 ? 12??ξ ξ也是 AX = 0 的解 . 性質(zhì) 2 ξ ?A ξ 0 由 是 AX = 0的解 , 即 ??k, 齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu) 8 AX = 0 的解集合構(gòu)成向量空間 , 記為 N(A), 稱其為 AX = 0的 解空間 . 定理 若 AX = 0 有非零解 , 則這些解的任意線性組合仍是解 , 所以必有無窮多個(gè)解 .由性質(zhì) 1,2可知解集合對(duì)線性運(yùn)算是封閉的 .所以得到如下結(jié)果 : 只要找到 N(A)的一個(gè)基 (基礎(chǔ)解系 ), 就能表示所有解 . 其中 P為可逆矩陣 . 注 AX = 0與 PAX = 0 是同解方程組 . 9 則稱 為 AX = 0的 基礎(chǔ)解系 . , , , nr?ξ ξ ξ12, , , nr?ξ ξ ξ12定義 r(A)= r n ,若 AX = 0的一組解為 , , , nr?ξ ξ ξ12 (1) 線性無關(guān) 。 rn?(2)若 則 AX = 0有基礎(chǔ)解系 ,且 ()n R n r? ? ?Αdim(N(A))= 證 N(A)={0} (2) (1) ()R r n??A()R r n?A 則 AX = 0沒有基礎(chǔ)解系 . (求基礎(chǔ)解系的方法 ) 11 A 的前 r 個(gè)列向量線性無關(guān) rrnrnrnrcccccc?????????????? ???????????AC11 121 211 0 00 1 00 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0行C為行階梯形矩陣 (行最簡(jiǎn) ). 12 得同解方程組 CX=0, 即 rr1 1 1 1 12 2 1 1 211r n r nr n r nr r n r nx c x c xx c x c xx c x c x??????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ??2. 前 r 個(gè) 變量為 基本未知量 , 其余的 nr個(gè) 變量為 自由未知量 . rrnxxnrx???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???121 0 00 1 00 0 1， ， ，(為 個(gè) ) 令 13 rnrnrnrr r rcx c ccx c ccx c c????? ? ? ?? ? ? ? ? ?
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