【正文】 ?? 例 7 ? ? 1235 , 7 , 5 , 4 , ( 1 , 1 , 0 , 2 ) ,( 0 , 2 , 1 , 3 ) , ( 1 , 1 , 2 , 1 )????? ? ? ?? ? ?如何判斷一個(gè)向量可用某組向量線性表示 1 1 2 2 3 3x x x? ? ? ?? ? ?解： 設(shè) 比較分量，得到 131 2 3231 2 3527252 3 4xxx x xxxx x x????? ? ? ? ??????? ? ? ??問題化為這個(gè) 方程組有無解 例 9 (1 , 2 , 1 , 1 )? ?1 (1 , 1 , 1 , 1 )? ? 2 ( 1 , 1 , 1 , 1 )? ? ? ?3 ( 1 , 1 , 1 , 1 )? ? ? ? 4 ( 1 , 1 , 1 , 1 )? ? ? ?能否用下列向量線性表示 解： 設(shè) 比較分量，得到 問題化為這個(gè) 方程組有無解 1 1 2 2 3 3 4 4x x x x? ? ? ? ?? ? ? ?1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 41211x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??例 10 ( 2 , 3 , 4 , 1 )? ??1 ( 1 , 2 , 3 , 4)? ?? 2 ( 2 , 1 , 2 , 5 )? ?? 3 ( 2 , 1 , 5 , 4 )? ??能否用下列向量線性表示 解： 設(shè) 比較分量，得到 問題化為這個(gè) 方程組有無解 1 1 2 2 3 3x x x? ? ? ?? ? ?1 2 31 2 31 2 31 2 32 2 2233 2 5 44 5 4 1x x xx x xx x xx x x? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??例 11 ( 4 , 5 , 1 , 1 )? ?1 (1 , 2 , 1 , 1 )? ? 2 (1 , 1 , 0 , 0)? ? 3 ( 2 , 1 , 1 , 1 )? ? ? ?能否用下列向量線性表示 解： 設(shè) 比較分量，得到 問題化為這個(gè) 方程組有無解 1 1 2 2 3 3x x x? ? ? ?? ? ?1 2 31 2 31313242311x x xx x xxxxx? ? ???? ? ??????? ??? ? 零向量是任一向量組的線性組合。兩個(gè)向量的之間的關(guān)系是成比例， 及 多個(gè)向量的比例關(guān)系表現(xiàn)為線性組合。 nRn維向量及其線性運(yùn)算 ? 向量的定義 ? 向量的加法 ? 向量的數(shù)乘 定義 4 所謂實(shí)數(shù)域 R 上一個(gè) n維向量就是由實(shí) 數(shù)域 R 中 n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 （ 1） 稱為向量（ 1）的分量 . 用希臘字母 來代表向量 . ),( 21 naaa ????, ???ia 如果 n維向量 的對(duì)應(yīng)分量相等，稱為這兩個(gè)向量相等， 記作 ),(),( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ???? ? ? 定義 5 向量 稱為向量 的 和 ，記為 ? 滿足 交換律 結(jié)合律 ),(),( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??),( 2211 nn bababa ???? ?????? ????????? ????? )()(?? ?分量全為零的向量 (0,0,…,0) 稱為 零向量 ，記為 0. 向量 稱為向量 的 負(fù)向量 ，記為 ),( 21 naaa ??? ? ),( 21 naaa ??????? ?? 0 0)( ??? ??)( ???? ????向量的減法 ? 定義 6 設(shè) k為數(shù)域 R中的數(shù)，向量 稱為向量 與數(shù) k的 數(shù)量乘積，記為 . ),( 21 nkakaka ?),( 21 naaa ????k()()( ) ( ) 10 0 ( 1 )0 0 0 ( 0 , 0)k k kk l k lk l k lk k k? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? 以數(shù)域 R中的數(shù)作為分量的 n維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域 R上的實(shí) n維 向量空間 。 2 n維向量空間 ? 消元法是解方程組的一個(gè)行之有效的算法。由（ 7）式，我們可以把 通過 表示出來，這樣一 組表達(dá)式稱為方程組（ 1）的 一般解 ， 而 稱為一組 自由未知量 。 ?????????????622452413231321321xxxxxxxx????????????5241323232321xxxxxxx????????????1835132332321xxxxxx其中用到 互換兩個(gè)方程的位置 (位置變換 )； 用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程 (倍法變換 )； 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上 (消法變換 ). 定義 1 變換 3稱為線性方程組的初等變換 . 定理 2: 初等變換把一個(gè)線性方程組為 一個(gè)與它同解的方程組 . 證明 : 分析初等變換的三種形式，可以看出定理對(duì)于第一種、第二種初等變換是顯然成立的 . 對(duì)于第三種初等變換，我們引導(dǎo)學(xué)生給出證明 . 我們僅對(duì)第 3 種初等變換作證明 , 令 1 1 1 1 2 2 1 11 1 2 21 1 2 21 1 2 2nni i in n ij j jn n jm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ??把第 i 個(gè)方程的 k 倍加到第 j 個(gè)方程， 得到 11 1 12 2 1 11 1 2 21 1 1 2 2 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )nni i in n ij i j ijn in n j im m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba k a x a k a xa k a x b k ba x a x a x b? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ??可以證明它們是同解的 用初等變換求線性方程組的解 ? 利用初等變換，我們把線性方程組化為階梯形方程組 , 其過程如下： ? 首先： 對(duì)于方程組（ 1） ? 如果 的系數(shù) 全為零， （ 1）可以看為 的方程來解 . 否則， 設(shè) ，利用初等變換（ 3） 可以將方程組（ 1）變?yōu)椋? 1x 1 1 2 1 1, , , ma a anxx ,2 ?011 ?a （ 3） 其中 11 1 12 2 1 122 2 2 222nnnnm m n n ma x a x a x ba x a x ba x a x b? ? ? ???? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ??1111( 2 , , , 2 , , )ii j i j jaa a a i m j na? ? ? ? ?22 2 2 222nnm m n n ma x a x ba x a x b? ? ?? ? ????? ? ? ?? ? ??這樣解方程組（ 1）就歸結(jié)為解下方程組 （ 4） 對(duì)（ 4）重復(fù)以上過程，最后得到 一個(gè) 階梯形的方程組 。 4 線性方程組的解 167。 2 n維向量空間 ? 167。第二章 線性方程組 ? 167。 1 消元法 ? 167。 3 矩陣的秩 ? 167。 1 消元法 ? 一般線性方程組的基本概念 ? 方程組的解 ? 同解方程組 ? 消元法的三個(gè)基本變換 ? 階梯形方程組 ? 非齊次方程組解的三種情況 ? 齊次線性方程組解的情況 ? 矩陣及其初等變換 ? 現(xiàn)在討論一般線性方程組： ? 其中 為 n個(gè)未知量， m為方程個(gè)數(shù)； 為 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??nxxx , 21 ?( 1 , 2 , , , 1 , 2 , , )ija i m j n?? 方程組的 系數(shù) ， 為 常數(shù)項(xiàng) . m與 n不一定相等 . 滿足方程組（ 1）的有序數(shù)組 稱為方程組的 解 ； 解的全體稱為 解集合 . 如果兩個(gè)方程組有相同的解集合，就稱為它們是 同解的 . ( 1 , 2 , , )ib i m?),( 21 nkkk ?11 12 1 121 22 2 212nnm m m n na a a ba a a bAa a a b?????????A為 系數(shù)矩陣 為 增廣矩陣 11 12 121 22 212nnm m m na a aa a aAa a a?????????A ? 例 1 解方程組 方程組的解為（ 9， 1， 6）。 ???????????????????????????????000001222222111212111???????????????????rrnrnrrrnnrrnnrrddxcxcdxcxcxcdxcxcxcxc 其中 ? 當(dāng) 時(shí)，方程組無解； ),2,1(0 ric ii ???01 ??rd 當(dāng)