【正文】 A 如下： 如此確定的線性變換 A 稱為對(duì)子空間 W的一個(gè)投影 。設(shè) n??? , 21 ?n??? , 21 ?, 1 , 2 , , . ( 3 )ii in?? ??A???niiix1??是線性空間 V的任意一個(gè)向量，我們定義 V的變換 A 為 下面來證明變換 A 是線性的。 是線性空間 V的一組基。換句話說，如果 是 的線性組合： 那么經(jīng)過線性變換 A 之后， 是 同樣的線性組合： ? r??? , 21 ?,2211 rrkkk ???? ???? ?()?A 12( ) , ( ) , ,??AA()r?A1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,rrk k k? ? ? ?? ? ? ?A A A A 又如果 之間有一線性關(guān)系式 那么它們的象之間也有同樣的關(guān)系 r??? , 21 ?,02211 ???? rrkkk ??? ?1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,rrk k k? ? ? ?? ? ? ?A A A A 3. 線性變換把線性相關(guān)的向量組變成線性 相關(guān)的向量組 . 但應(yīng)該注意， 3的逆是不對(duì)的，線性變換可能把線性無關(guān)的向量組也變成線性相關(guān)的向量組 .例如零變換就是這樣 . BACK 167。 ., Vk ?? ??? 例 4 在線性空間 或者 中，求微商是一個(gè)線性變換 . 這個(gè)變換通常用 D 代表，即 []nFx[]Fx39。 定義中等式所表示的性質(zhì)，有時(shí)也說成線性變換保持向量的加法與數(shù)量乘法 . ??,( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) .kk? ? ? ???? ? ??A A AAA,A,B()?A ?A ? 例 1 線性空間 V中的 恒等變換 或稱 單位變換 E,即 是線性變換 . ( ) ( ) ,V? ? ???E 例 2 線性空間 V中的 零變換 ,即 是線性變換 . ( ) 0 ( )V????OO例 3 設(shè) V是數(shù)域 F上的線性空間， k是 F中某個(gè)數(shù) 定義 V的變換如下： 這是一個(gè)線性變換， 稱為由數(shù) k決定的 數(shù)乘變換 ，可用 K 表示。 6 不變子空間 表示符號(hào) ? A B C D E F G H I J K L M ? N O P Q R S T U V W X Y Z ? A B C D E F G H I J K L M ? N O P Q R S T U V W X Y Z ? A B C D E F G H I J K L M ? N O P Q R S T U V W X Y Z 167。 4 線性變換的值域與核 ? 167。 2 線性變換的矩陣 ? 167。第七章 線性變換 ? 167。 1 線性變換的定義 ? 167。 3 線性變換的運(yùn)算 ? 167。 5 特征值與特征向量 ? 167。 1 線性變換的定義 ? 定義 ? 例題 ? 性質(zhì) 上一章我們看到，數(shù)域 F上任意一個(gè) n維線性空間都與 同構(gòu)，因之，有限維線性空間的結(jié)構(gòu)可以認(rèn)為是完全清楚了 . 線性空間 V到自身的映射通常稱為 V的一個(gè) 變換 . 這一章中要討論的線性變換就是最簡單的，同時(shí)也可以認(rèn)為是最基本的一種變換 . 線性變換是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象 . 下面如果不特別聲明，所考慮的都是某一固定的數(shù)域 F上的線性空間 . 定義 nF 定義 1 線性空間 V的一個(gè)變換 A 稱為 線性變換 ，如果對(duì)于 V中任意的元素 和數(shù)域 F中任意數(shù) k,都有 以后我們一般用黑體大寫拉丁字母 代表 V的變換， 或 代表元素 在變換 A下的象。 顯然，當(dāng) k=1時(shí)，我們便得恒等變換， 當(dāng) k=0時(shí)，便得零變換。( ( ) ) ( ) .f x f x?D例 5 nnAF ??nF nXF?取定 定義 的變換 A, 對(duì)于 A (X)=AX 判斷 A 是否是 一個(gè)線性變換 例 6 判斷 A 是否是一個(gè)線性變換 3F1 2 3( , , )x x x? ?2221 2 3( ) ( , , )xxx? ?在 中 , 對(duì)于任意向量 , 定義 A 例 7 定義在閉區(qū)間 [a,b]上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以 C(a,b)代表 . 在這個(gè)空間中，變換 ( ( ) ) ( )xaf x f t d t? ?J是一線性變換 . A 是 V的線性變換 ,則 這是因?yàn)? ( 0) 0 , ( ) ( ) .??? ? ? ?A A A( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) 0 ,( ) ( ( 1 ) ) ( 1 ) ( ) ( ) .??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?A A AA A A A簡單性質(zhì) ： 。 2 線性變換的矩陣 線性變換的相等 線性變換在不同基下的矩陣 線性變換在某組基下的矩陣 像與原像之間的坐標(biāo)關(guān)系 設(shè) V是數(shù)域 F上 n維線性空間， 是 V的一組基 . 空間 V中任一向量 可以被基 線性表出，即 其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的坐標(biāo) . n??? , 21 ?? n??? , 21 ?)1(,2211 nnxxx ???? ???? ?? 1 1 2 21 1 2 2()( ) ( ) ( ) . ( 2 )nnnnx x xx x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?AAA A A由于線性變換保持線性關(guān)系不變， 因而在 的象 與基的象 之間有關(guān)系： ? ?A12, , , n? ? ?A A A 是線性空間 V 的一組基， 如果線性變換 A 與 B 在這組基上的作用相同，即 那么 A=B . 證明 A 與 B 相等的意義是它們對(duì)每個(gè)向量 的作用相同 . 因此，我們就是要證明 對(duì)任一向量 ，等式 成立 . 而由 (2)及假設(shè)，即得 n??? , 21 ?, 1 , 2 , , ,ii in????AB? ???AB1 1 2 21 1 2 2 .nnnnx x xx x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?A A A AB B B B 結(jié)論 1的意義就是，一個(gè)線性變換完全被它在一組基上的作用所決定。對(duì)于任意一組向量 一定有一個(gè)線性變換 A使 證明 我們來作出所要的線性變換。 在 V中任取兩個(gè)向量， 于是 1( 4 )niiix???? ?A??????ni iini iicb11., ????.,)(11Pkkbkcbniiiniiii???? ??????????按所定義的 A 的表達(dá)式 (4)，有 因此 , A 是線性變換 , 再來證 A 滿足 (3)式 . 因?yàn)? 所以 1 1 111( ) ( ) ,( ) .n n ni i i i i i ii i inni i i iiib c b ck k b k b k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???A A AAA,2,1,00100 111niniiii??????????? ?? ?????? 綜合以上兩點(diǎn)，得 結(jié)論 設(shè) 是線性空間 V的一組基， 是 V中任意 n個(gè)向量 . 存在唯一的線性變換 A 使 n??? , 21 ?n??? , 21 ?, 1 , 2 , , ,ii in????A1 1 10 0 1 0 0 ,1 , 2 , , .i i i i n iin? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??A 我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系 定義 2 設(shè) 是數(shù)域 F上 n維線性空間 V的一組基， A 是 V中的一個(gè)線性變換 . 基向量的象可以被基線性表出： n??? , 21 ?1 11 1 21 2 12 12 1 22 2 21 1 2 2,nnnnn n n nn na a aa a aa a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??AAA 用矩陣來表示就是 其中 1 2 1 212( , , , ) ( , , , )( , , , ) , ( 5 )nnn A? ? ? ? ? ?? ? ???A A A A .212222111211???????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????矩陣 A稱為 A 在基 下的矩陣 . n??? , 21 ? 例 1 設(shè) 是 n(nm)維線性空間 V的子空間 W的一組基 ,把它擴(kuò)充為 V的一組基。不難證明 投影 A在基 下的矩陣是 m??? , 21 ?., 21 n??? ?, 1 , 2 , , ,0 , 1 , , .iiiimi m n??????? ? ? ??當(dāng)當(dāng)AA2 .?AAn??? , 21 ? m行 m列 .00111????????????????????????n??? , 21 ?例 2 數(shù)乘變換 K 在任意一組基 下的矩陣 22F ?abXXcd???????11 12 21 22, , ,E E E E例 3 在 中定義線性變換 A , 求它在基 下的矩陣 []nFx211 , , , , nx x x ? 例 4 在 中，求 D 在基 下的矩陣 利用線性變換的矩陣計(jì)算一個(gè)向量的象 定理 3 設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是 A，向量 在基 下的坐標(biāo) 則 在基