[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第七章拉普拉斯變換-展示頁
2025-01-07 12:18本頁面
【正文】 ) ( ) ( 0)tf t u t e ? ?? ?， 的傅氏變換.2022/1/4 5 ? 例 1． 0 , 0()1 , 0tutt??? ???求單位階躍函數(shù) ，的拉氏變換.解： 0(1 ) [ ( ) ]stL u t e d t?? ?? ? Re( ) 0s ?011 ,stess? ??? ? ?1[ ( ) ] , R e ( ) 0L u t ss??即： ；00011( 2 ) [ s g n ] ( s g n ) ,s t s t s tL t t e d t e d t ess? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???Re( ) 0s ?1[ sg n ] , R e ( ) 0L t ss??即： ；0011( 3 ) [ 1 ] ,s t s tL e d t ess?? ? ? ? ?? ? ? ?? Re( ) 0s ?1[1 ] , R e ( ) 0 .Lss??即：1/s的拉氏逆變換為哪個？？？ 1 , 0sg n 0 , | | 01 , 0tttt??????? ???符號函數(shù) ，( ) 1ft?( ) ( ) 0 0 .f t f t t??一般規(guī)定：在拉氏變換中 均理解為： ，2022/1/4 6 ? 例 2． ( ) .atf t e a?求指數(shù)函數(shù) 的拉氏變換（ 為實數(shù)）解： ()00[ ( ) ]a t s t s a tL f t e e d t e d t? ? ? ?? ? ?? ? ???( ) 0R s a??()011 ,saes a s a? ? ? ?? ? ???1[ ] , ( R e ( ) ) .atL e s asa???即：1[ ] , ( R e ( ) ) ,atL e s asa? ? ? ??1[ ] , ( R e ( ) R e ( ) ) .ctL e s csc???由上式可得： 2022/1/4 7 第二節(jié) 拉氏變換的性質(zhì) 1．線性性質(zhì) 1 1 2 2, [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )L f t F s L f t F s?? ??設(shè) 為常數(shù)，且有 ， ，則有：1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,L f t f t F s F s? ? ? ?? ? ?1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .L F F s f t f t? ? ? ?? ? ? ??一、線性與相似性質(zhì) 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,F f t f t F F? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1 2[ ( ) ( ] ( ) ( ) ,F F F f t f t? ? ? ? ?? ? ? ?2022/1/4 8 ? 例 1． c os t?求函數(shù) 的拉氏變換.解： 1c o s ( )2j t j tt e e??? ???由于 ，1[ c o s ] ( [ ] [ ] ) ,2j t j tL t L e L e??? ?? ? ?221 1 1[ ] .2ss j s j s? ? ?? ? ?? ? ?0[ c o s ] c o sstL t te d t???? ?? ?1[ ] , ( R e ( ) )atL e s asa???例2 中，計算很困難由線性性質(zhì)得：22[ c o s ]sLts? ?? ? ，即： 同理：22[ si n ] .Lt s???? ? w偶函數(shù) w奇函數(shù) 2022/1/4 9 ? 例 2． 151( ) [ ( ) ] .( 1 ) ( 2 )sF s L F sss?????已知 ，求解： 5 1 1 1( ) 2 3 ,( 1 ) ( 2 ) 1 2sFs s s s s?? ? ?? ? ? ?1[]atLe sa? ?1 1 111[ ( ) ] 2 [ ] 3 [ ]12L F s L Lss? ? ?? ? ???22 3 .ttee???2．相似性質(zhì) [ ( ) ] ( ) 0L f t F a???設(shè) ，則對任一實數(shù) 有：1[ ( ) ] ( ) .sL f a t Faa?1[ ( ) ] ( ) .F f a t Faa??2022/1/4 10 ?二、微分性質(zhì) 1．導(dǎo)數(shù)的象函數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則有 [ ( ) ] ( ) ( 0 ) .L f t sF s f? ??( ) 1 2 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0) ( 0) ( 0) .n n n n nL f t s F s s f s f f? ? ??? ? ? ? ?推廣： ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f ??? ? ? ?特別地，當(dāng) 時，有2 ( )[ ( ) ] ( ) , [ ( ) ] ( ) , , [ ( ) ] ( ) .nnL f t sF s L f t s F s L
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