【正文】 ? ? ?解： 法二 利用卷積求解 12 211( ) ( ) ,2 ( 1 )F s F sss????設(shè)，12( ) ( ) ( ) ,F s F s F s??則2022/1/4 28 ? ? ? ?11 21 1 2 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,ttf t L F s e f t L F s te??? ? ? ?又由于根據(jù)卷積定理有： 2 ( )120( ) ( ) ( )t tf t f t f t e e d???? ?? ? ? ??2 2 20 ( 1 ) .tt t t t t t te e d e e te e e te?????? ? ? ? ? ? ??解： 法二 利用留數(shù)求解 12 2 , 1 ( )s s F s??由于 分別為象函數(shù) 的一階極點(diǎn)與二階極點(diǎn)，1( ) R e [ ( ) , ] 0n st kkf t s F s e s t????由， 及留數(shù)計(jì)算法則有： ( ) Re [ ( ) , 2] Re [ ( ) , 1 ]s t s tf t s F s e s F s e??2221.( 1 ) 2s t s tt t tssee e e t ess ?????? ? ? ? ???????2022/1/4 29 第四節(jié) 拉普拉斯變換的應(yīng)用及綜合題 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，無(wú)論是機(jī)械的，電的，要想真正了解、分析與研究，就應(yīng)該對(duì)該系統(tǒng)建立描述系統(tǒng)數(shù)量特性的數(shù)學(xué)模型或把面放窄一點(diǎn)來(lái)考慮就要建立該系統(tǒng)的微分方程，尤其在一些線(xiàn)性電路上，因?yàn)檫@一類(lèi)線(xiàn)性電路是滿(mǎn)足疊加定原理的系統(tǒng)，它們?cè)谧詣?dòng)控制中占有很重要的地位，本節(jié)著重是對(duì)建立的微分方程，通過(guò)用拉氏變換的一套方法來(lái)解微分方程． 2022/1/4 30 ? 例 1． 23 ty y y e ??? ?? ? ?求方程000 , 1 .ttyy?? ???滿(mǎn)足初始條件 的解解： [ ( ) ] ( ) ,L y t Y s?設(shè) 方程兩邊取拉氏變換，得： [ ] 2 [ ] 3 [ ] [ ] ,tL y L y L y L e ??? ?? ? ?由拉氏變換的性質(zhì)及初始條件得： 2 1( ) 1 2 ( ) 3 ( ) ,1s Y s sY s Y s s? ? ? ? ?()Ys解出 ，得： 2() ( 1 ) ( 1 ) ( 3 )sYs s s s?? ? ? ? ，311884()( 1 ) ( 1 ) ( 3 )Ys s s s?? ? ?? ? ?而，取逆變換，得： 31 3 1() 4 8 8t t ty t e e e??? ? ? ? 31 ( 3 2 ) .8 t t te e e??? ? ?2022/1/4 31 ()Fs把微分方程化成象函數(shù) 的代數(shù)方程；()Fs整理得象函數(shù) 的表達(dá)式； 用拉氏變換解微分方程方法 （ 1） 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換， （ 2） 根據(jù)這個(gè)代數(shù)方程， （ 3） 再取拉氏逆變換就得出象原函數(shù)，即方程的解． 2022/1/4 32 祝大家取得好成績(jī)！ 謝謝大家！ 。2022/1/4 1 目 錄 ?第二章 解析函數(shù) ?第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 ?第四章 解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示 ?第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 ?第六章 傅立葉變換 ?第七章 拉普拉斯變換 ?第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 2022/1/4 2 第七章 拉普拉斯 變換 上一章介紹的傅立葉變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用，特別是在信號(hào)處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說(shuō)信號(hào)分析本質(zhì)上即是傅氏分析（譜分析）．但是任何東西都有它的局限性，傅氏變換也是如此．因而人們針對(duì)傅氏變換一些不足進(jìn)行了各種各樣的改進(jìn)．這些改進(jìn)大體分為兩個(gè)方面，其一是提高它對(duì)問(wèn)題的刻畫(huà)能力；其二是擴(kuò)大它本身的適用范圍．本章介紹的是后面這種情況． 2022/1/4 3 第七章 拉普拉斯 變換 ? 拉普拉斯變換的概念 ? 拉氏變換的性質(zhì) ? 拉普拉斯逆變換 ? 拉氏變換的應(yīng)用及綜合舉例 ?本章小結(jié) ? 思考題 2022/1/4 4 第一節(jié) 拉普拉斯變換的概念 1．拉普拉斯變換的定義 1 ( ) 0f t t ?定義 ：設(shè)函數(shù) 當(dāng) 時(shí)有定義，s在 某一域內(nèi)收斂， 則稱(chēng)記為：( ) ( )F s f t稱(chēng)為函數(shù) 的拉氏變換， ( ) ( )f t F s稱(chēng)為函數(shù) 的拉氏逆變換，記為：( ) ( 0)f t t ?函數(shù) ， 的拉氏變換0 ()stf t e d t s?? ??而積分 ，( 為一個(gè)復(fù)參量)()ft為函數(shù) 的拉普拉斯變換式，0( ) ( )stF s f t e d t?? ?? ?( ) [ ( )] .F s L f t?1( ) [ ( ) ] .f t L F s??就是 (