[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第七章拉普拉斯變換-在線瀏覽
2025-02-15 12:18本頁面
【正文】 f t s F s? ??? ? ? 此性質(zhì)使我們有可能將函數(shù)的 微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程 ， 因此它對分析線性系統(tǒng)有重要的作用． ()[ ( ) ] ( ) ( )nnF f t j F???2022/1/4 11 ? 例 3． 解： 2( ) ( ) 0 ( 0) 0 , ( 0) .y t y t y y???? ?? ? ? ?求解微分方程 ，利用線性性質(zhì)及微分性質(zhì)，有 : 22( ) ( 0) ( 0) ( ) 0 ,s Y s sy y Y s??? ? ? ?代入初值 : 22( ) ,Ys s??? ?有前面結(jié)果，可以得到： 1122( ) [ ( ) ] [ ] s in .y t L Y L ts??????? ? ??( ) [ ( )] ,Y s L y t?令對方程兩邊取拉氏變換，有 : 2[ ( ) ( ) ] [ 0 ]L y t y t L??? ?? ，利用線性性質(zhì)，有 : 2[ ( ) ] [ ( ) ] 0L y t L y t??? ?? ，( 0) 0 , ( 0)yy ????解得 : 2022/1/4 12 2．象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則 ( ) [ ( ) ]F s L tf t? ?? 11( ) [ ( ) ] .f t L F st ? ???或() ( ) ( 1 ) [ ( ) ] .n n nF s L t f t??一般地有 ? 例 4． ( ) si nf t t k t?求函數(shù) 的拉氏變換.解： 22[ si n ] ,kL k tsk? ?2 2 2 2 22[ s in ] [ ] .()d k k sL t k td s s k s k? ? ? ???222 2 2 2 2[ c o s ] [ ] .()d k s kL t k td s s k s k?? ? ???同理 ? 例 5． 22( ) c osf t t t?求函數(shù) 的拉氏變換.2 2 21[ c o s ] [ ( 1 c o s 2 ) ]2L t t L t t??2 6 22 2 3 2 31 1 2 ( 2 4 3 2 )[]2 4 ( 4 )d s s sd s s s s s??? ? ???()[ ( ) ] ( 1 ) ( ) .n n nL t f t F s??()[ ( ) ] ( ) ( ) .n n nF t f t j F s?2022/1/4 13 ?三、積分性質(zhì) 1．積分的象函數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則01[ ( ) ] ( ) .tL f t d t F ss??推廣： 0 0 01[ ( ) ] ( ) .t t tnL d t d t f t d t F ss?? ? ?２．象函數(shù)的積分 [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則 ()[ ] ( ) ,sftL F s d st??? ? 1( ) [ ( ) ] .sf t tL F s d s???? ?或推廣： ()[ ] ( ) .n s s s sftL d s d s d s F s d st ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?01[ ( ) ] ( ) .tF f t d t Fj ????2022/1/4 14 ? 例 5． 解： 0si n .t dtt???計算積分20 0 0s in 1[ s in ]1t d t L t d s d sts? ? ? ? ? ????? ? ?0a r c ta n .2s?????2022/1/4 15 ?四、延遲與位移性質(zhì) 1．位移性質(zhì) 若 [ ( )] ( ),L f t F s? 則有 [ ( ) ] ( )atL e f t F s a?? (a為復(fù)常數(shù))證明： 0[ ( ) ] ( )a t a t s tL e f t e f t e d t?? ?? ?()0 ( ) ( ) .s a tf t e d t F s a?? ??? ? ??這個性質(zhì)表明： 象原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) ate其象函數(shù)做位移 .a的拉氏變換等于 2022/1/4 16 ? 例 6． 設(shè) 30( ) sin 2 ,t tf t t e tdt?? ? 求 ( ).Fs解： 令 31 0( ) sin 2 ,t tf t e tdt?? ? 則據(jù)積分性質(zhì)得： 33101[ ( ) ] [ si n 2 ] [ si n 2 ]t ttL f t L e td t L e ts?????122 ( ) .[ ( 3 ) 4 ] Fsss????所以 11( ) [ ( ) ] ( )dF s L tf t F sds? ? ?22 2 22 2 ( 3 1 2 1 3 )[ ] .[ ( 3 ) 4 ] [ ( 3 )
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