【正文】 ? ?? ? ? ? 00 00 stst edtettttL ?? ? ??????? ?常用函數(shù)的拉氏變換表可查用。 拉普拉斯變換和傅立葉變換的關(guān)系 主要內(nèi)容 重點(diǎn) 難點(diǎn) ?0，收斂邊界落于 s右半平面 ?0，收斂邊界位于 s左半平面 ?=0，收斂邊界位于虛軸 總結(jié) ?=0，收斂邊界位于虛軸 ?0，收斂邊界位于 s左半平面 拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系 ? ??? ? dtetf tj?)(因果 ? ???0乘衰減因子 te ??dtetf tj? ? ??0)()( ???? js ??? ? ?0 )( dtetf st? ??? ? dtetf st)(?? js ??dtetf tj? ????? )()( ??0??0)(0??tft從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)(0??tft)(tue ataa??t)(tf0)1( 0 ??assF?? 1)(傅氏變換不存在，拉氏變換存在 ??j從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)(0??tft0)2( 0 ??)(tft)(tue at?a?a????j?assF?? 1)( ajjF ?? ?? 1)(?js ?從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)( 0 ??tft0)3( 0 ?? 存在傅氏變換，但收斂于虛軸，不能簡單用 ，要包含奇異函數(shù)項(xiàng)。 拉普拉斯變換的性質(zhì) 主要內(nèi)容 重點(diǎn) 難點(diǎn) 線性 時移性 單邊周期信號的拉氏變換 卷積定理 頻移特性 尺度變換特性 時間微分性質(zhì) 時間積分性質(zhì) 初始值定理 終值定理 復(fù)頻域微分 復(fù)頻域積分 卷積定理 尺度變換特性 時移性 初始值定理 拉氏變換的基本性質(zhì) （ 1） 線性 )(1tfk inii??)]([.1tfLTknii??dttdf )(微分 )0()( ?? fsSF積分 ? ??t df ?? )( sfs sF )0()( 39?！窘狻吭O(shè)????????)(0)0()(1TttEtf??,單邊周期信號的拉氏變換 (續(xù) ) （ 1 ）求 ? ?sF 11) 用定義求：)1()(01?? sst esEdteEsF ?? ???? ?2 ) 時移性質(zhì)：? ?)()()(1???? tutuEtf??sesEtEusEtEu?? ???? ?? )(,)( )1()(1?sesEtf??? ??單邊周期信號的拉氏變換 (續(xù) ) （ 2 ）周期性脈沖的拉氏變換?????????? )2()()()( 111 TtfTtftftf TsTsTsTsTsTTesFeesFesFesFsFsF?????????????????????11)()1)(()()()()(1212111所以：sTTesFsF???11)()(1， 周期化定理適用于任意周期信號求拉氏變換， ? ?sF 1 因信號不同而不同。不是等比級數(shù)，因?yàn)?? ?nTf 依 nT 不同而不同：? ? ? ??? ???? ? ???0 00 )()()()( nn sTsts enTfdtenTtnTftfL ?若 tetf ???)(則nTsnnTsnnTs eenTtetf )(0)(0 11)()(???????????? ???? ????? ?頻移特性 )()( sFtf ? ?? ， )()( 00 ssFetf ts ?? ???例：求 te t 0c o s ??? 的拉氏變換。已知： )()4c o s (2)()( tutttf ?? ??? ，求 ? ?sF)(s i n)(c o s)()()4s i ns i n24c o sc o s2()()(tuttutttuttttf??????????? ? 2222 11 111 s ssssssF ? ???????【解】 例 時間微分性質(zhì) 設(shè) )()( sFtf ? ?? ，則 )0()()( ??? ?? fssFdt tdf 證明： 用定義 dtedt tdf st??? ?0 )(stst edtfetf ???? ? ?? ?? 00 )()(dtetfsf st??? ? ????? 0 )()()0()0()()( ???? fssFdt tdf分部積分 0)(lim ????sttetf時間微分性質(zhì) (續(xù) ) 推廣： ? ? ? ?? ?)0()0()()0(0)(22???????????? ??fsfsFsffssFsdttdf ???????? ??10)(1)0()()(nrrrnnnfssFsdttdf 式中 ， ????0)()0(ttff ，????0)()()()0(trrtff 若 ? ?tf 為有起因信號，即 0?t 時， ? ? 0?tf ，且無原始儲能，即 0)0()0( ???????ff則 )()( ssFtf ? ??? ， ?),()(2sFstf ? ???? ? ?tf 的拉氏變換 ?? ???? ? ? ??? sdteesF stt 1)( 0例 1 已知 ????????? )0(001)(?? tettft，求 ? ?tf 及其一階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換。 ? ?ssF 相當(dāng)于)( tf ? 的拉氏變換， ? ?tf 的微分中有 )( t? ? 項(xiàng)，其拉氏變換為 ks 補(bǔ)充！ 例 1 ssF1)( ? ，求 ?)0( ??f解： 1)()()0( limlim0????????ssFtffst 即單位階躍信號的初始值為 1 例 2 12)( ?? s ssF ，求 ?)0( ??f解： ? ? 12212 ????? ss ssF?? ? ?????? ???????????? ssssksssFfss2)12()()0( l i ml i m211212 l i ml i m ????????????sssss 2)0( ??? ?f ， ? ?tf 中有 )(2 t? 項(xiàng)。 為什么？ 復(fù)頻域微分 若 )()( sFtf ? ?? ，則 sd sFdtft nnnn )()1()( ?? ??證明： ? ? ?? ?? 0 )()( dtetfsF st兩邊對 s微分： ? ? ?? ???? 0 )()()( dtettfds sdF st? ?? ? ?? ??? 0 )()( dtetft st? ?)( ttfL??dssdFttf )()( ?? ??? 對 s 微分 n 次，則得 nnnndssFdtft )()1()( ?? ??復(fù)頻域積分 若 )()( sFtf ? ?? ，則 ? ?? ?? s dssFt tf )()(證明： ? ? ?? ?? 0 )()( dtetfsF st兩邊對 s積分： ? ?? ? ? ?? ? ?? s sts dsdtetfdssF 0 )()(交換積分次序 dtettfdtettfdtdsetftsstssts??? ??? ? ??????????????? ????000)(1)()(卷積定理 ? ? )()()()(2121sFsFtftfL ??? ? ? )()(21)()(2121sFsFjtftfL ???? （注意與付氏變換區(qū)別） 167。 當(dāng) mn， F(s)為 有理真分式 )())(()())(()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF??????????z 1 , z 2 , z 3 ? z m 是 A( s ) =0 的根，稱為 ? ?sF 的零點(diǎn)? A s F s( ) ( )? ? ?0 0 ）p 1 , p 2 , p 3 ? p n 是 B ( s ) =0 的根，稱為 ? ?sF 的極點(diǎn)（ ? B s F s( ) ( )? ? ? ?0 ）分解 零點(diǎn) 極點(diǎn) 部分分式法求拉氏逆變換的過程 ? 找出 F ( s) 的極點(diǎn)? 將 ? ?sF 展成部分分式? 查拉氏變換表—— ? ?tf部分分式展開法 第一種情況：實(shí)數(shù)單極點(diǎn) )())(()()(21 npspspssAsF???? ?p1, p2, p3… pn為不同的實(shí)數(shù)根。為確定系數(shù) ki， 兩邊乘以因子 spi， 再令 s=pi。右＝ ?????? ????? 3212 )1(2)1( kkss ksdsd 0)2( )1()2)(1(2 22 211 ??? ????? ks skkss左 = ? ?)()1( 2 sFsdsd ? 22222)2(4)2()2(22 ??????????????? sssssssssdsd此時令 s=1 右 = k2 左＝ 3)2(4122??????ssss32 ??? k逆變換 一般情況 211311121111 )()()()()(?? ??????? kkkk pskpskpskpssA1121)1(1)( pskpsk kk???????求 k 11 ，方法同第一種情況：1)()( 111psk sFpsk???求其它系數(shù)，要用 1)()!1(1111psiii sFdsdik????? , i = 1 , 2 , 3 ? k 注意： k 次重根，要設(shè) k 項(xiàng)當(dāng) i=2, 1)(112 pssFdsdK ??當(dāng) i = 3 ,1)(2112213 pssFdsdK??兩種特殊情況 非真分式 化為真分式＋多項(xiàng)式 含 es的非有理式 非真分式－－真分式＋多項(xiàng)式 例： 61161531258)(23234????????ssssssssF作長除法 )(26116 3322)( 1232sFssss ssssF ?????? ?????? ? )(2)(21 ttsL ?? ?????? ? )()65()( 3211 tueeesFL ttt ???? ???? ? )(65)(2)()( 32 tueeetttf ttt ??? ??????? ??含 es的非有理真分式 es項(xiàng)不參加部分分式運(yùn)算，用時移性質(zhì) 例： ssesFss se 2122)(52 ?????4)1(14)1(14)1()( 2221 ??????????? ssssssF? ? )(2s i n212c o s)()( 111 tutetesFLtf tt ?????? ???? ??? ? ? )(2sin2c o s221 tutte t ?? ?0)()( 0 stesFttf ?? ????? ?sesFLtf 211 )()( ???? ? ? )2()2(2sin)2(2c o s221 )2( ????? ?? tutte t167。 ? ? 求解 s 域方程。 二 .微分方程的拉氏變換 )0()()( ??? ?? fssFdt tdf? ? ? ?? ?)0()0()()0(0)(22???????????? ??fsfsFsffssFsdttdf)()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdt