【正文】 第四章 拉普拉斯變換 本章要點 拉氏變換的定義 —— 從傅立葉變換到拉氏變換 拉氏變換的性質(zhì)，收斂域 連續(xù)時間系統(tǒng)響應(yīng)的求解 (S域 ) 系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng) 系統(tǒng)的零極點 167。 拉氏變換的定義 主要內(nèi)容 重點 難點 定義的引出 拉氏正變換的推導(dǎo) 拉氏反變換的推導(dǎo) 拉氏變換的物理意義 拉氏變換的物理意義 0系統(tǒng) 時域分析 ： )t(h)t(f)t(r)t(h ??? (零狀態(tài)響應(yīng) ) 頻域分析 ： )()()()()()()()( ????? HFRtrHthFtf ????????頻譜的概念 ： )(),( 1 ?? FnF譜系數(shù)， 頻譜密度 一 . 定義的引出 復(fù)頻域分析 ： ????? js),s(F)t(f 拉氏變換 ?付氏變換不存在的信號 ， 拉氏變換可能存在 ； ?用拉氏變換求反變換 ， 運算簡單 。 采用拉氏變換的好處 tetf ??)(拉氏變換的定義 —— 從傅氏變換到拉氏變換 有幾種情況不滿足狄里赫利條件： u(t) 增長信號 周期信號 )0( ?ae at若乘一衰減因子 為任意實數(shù)，則 收斂，于滿足狄里赫利條件 te ???tetu ??)()( aee tat ?? ??te t 1co s ???t1co s ?對一般信號 )( tf ，乘以衰減因子 te ?? ，即tetf ???)(在 ? 的某范圍內(nèi) （ ?? ? ）收斂。依定義：令 sj ????拉氏正變換的推導(dǎo) ? ? ? ? dteetfetfF tjtt ??? ????? ?? ??? ? )()(dtetf tj )()( ?? ?????? ?? ?)( ?? jF ??則 ? ? ? ? dtetfsF ts?????? 拉氏正變換 對于 ? ? tetf ?? 是 ? ??? jF ? 的付里葉反變換? ? ? ? ?????? ?????? ? dejFetf tjt21兩邊同乘 te ?? ? ? ? ? ? ?????? ??????? dejFtf tjj21其中 ???? js ?? jdds ? ????????????jj:s: 對對? ? ? ? dsesFjtf tsjj??????????21拉氏反變換的推導(dǎo) 拉氏逆變換 ?? js ?? 具有頻率的量綱拉氏變換對 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????????????????jjtstsdsesFjtfLtfdtetftfLsF211上兩式為廣義的付氏變換， 也稱為雙邊拉氏變換 ： ????? t 。實際的信號都是有起因信號，即 0?t 時 ? ? 0?tf 。在系統(tǒng)分析中，感興趣的是 0?t 以后部分的 ? ?sF雙邊 /單邊拉氏變換 復(fù)頻率 ? ? ? ? dtetfsF ts?????0 稱為單邊拉氏變換。拉氏變換已考慮了初始條件 ? ?)()()()()(??????????ofsSFdttdfLTsFtfLT)()0()())(()()( 39。00039。sSFfefdtetfetfdtetfsststst????????????????終值 初值，若有跳變則為 )( ?of167。 拉氏變換的收斂 主要內(nèi)容 重點 收斂域 單邊拉氏變化的收斂域 雙邊拉氏變化的收斂域 一般情況 S平面及收斂域的表示 例 1: 求 )( tue t?? 和 )( tue t ?? ? ? 的拉氏變換。 解得：均為 ??s 1 ；說明： 不但要找到 )( sF ，還要標(biāo)出使拉氏變換存在的區(qū)域。一 . 收斂域 ? ? tetf ??? ： ? ?tf 乘以 te ?? 增加收斂的可能性，但并不一定全收斂。? ?sRe?? 在一定的范圍內(nèi)使 )( sF 存在， 使 )( sF 存在的 s 區(qū)域稱為收斂域。記為 ： ROC（ region of convergence） ? ? tetf ??? 取極限 ??t ，對 0?? ? 的所有實數(shù)有：? ? 0l i m ?? ???tt etf? ，則拉氏變換存在。 收斂域： ? ?0Re ?? ??s ；收斂坐標(biāo)： 0? ，是與 ? ?tf 有關(guān)的實數(shù)s平面： ?? js ?? ，為一復(fù)平面 （ s p l an e ）。s平面 0??j0??j0??收斂軸 S平面 例 1： ? ? ? ?02 ?? ? tetf t 指數(shù)衰減? ? ? ?收斂坐標(biāo):2020l i ml i ml i m0022?????????????? ??????????????ttttttteeeetf二 . 單邊拉氏變化的收斂域 0??j2?例 2： ? ? ? ?tutf ?? ? 00,01l i ml i m 0 ?????? ?????? ???? tttt eetu例 3: ? ? ? ?0)( ??? ? tuetf t? ? 00,0l i ml i m ???????????? ??????????ttttt eee例 4: ? ? 0l i ml i m 22 ??? ????????ttttt eee2)( tetf ?拉氏變換不存在。 例 2 ，例 3 都滿足條件 ? ? 0lim ?? ??? tt etf ? ，稱 ? ?tf 為指數(shù)階信號。對于有起因的單邊信號，其單邊拉氏變換的收斂域比較簡單，不再注明其收斂域 （ 隱含 ）0??j0??j?0??j? b全時域信號 為實數(shù)）b??????????b,(00teteetttp0l i m ?? ???? ttt ee ?b ，則 b??b ??? 00lim ?? ??? ttt ee ?? ，則 ???? ??? 0b?? ??? 收斂帶三 . 雙邊拉氏變化的收斂域 )()()( tuetuetf btat ?????? ? ??? ?? ?? ? ?? 0 )(0 )()( dtedtedtetf tatbt ???b?? ??abaab ??? ?,ab ?收斂，存在雙邊拉氏變換 沒有收斂域。不存在雙邊拉氏變換 167。 一些常用函數(shù)的拉氏變換 ?? 基本信號的單邊拉氏變換 一 .階躍函數(shù) ? ? sesdtetuL stst 1011)( 0 ?????? ?? ??二 .指數(shù)函數(shù) ? ? ? ?? ? ssedteeeL ssttt ????????? ????? ????? ? 100三 .有限長信號 ????? ??? ??其他00)( Ttetf t? ? ? ?? ?TsT stt esdteesF ?????? ?????? ? 110四 . nt （ n 為正整數(shù)）? ? ? ? ???? 01 dtettLn st21011sessst ??????? ??????? ? ? ? ??? 0 dtettL stnn ?? ? ??? ??? ????? 0 10 10 dtetsndtetsnest stnstnstn? ? ? ? ?1?? nn tLsntL?? ??? 01 sttd es?????? ????? ?? ??001 dteetsstst? ? ? ? ? 322 2122 ssstLstL ????? ? ? ? 4323 6233ssstLstL ????即 ? ? 1!: ?? nnnsntLt五 . 單位沖激信號 ? ?? ? ? ? 10 ????? ? ? ? dtettL sts域全平面收斂 ? ?? ? ? ? 00 00 stst edtettttL ?? ? ??????? ?常用函數(shù)的拉氏變換表可查用。 常用信號的拉氏變換 S1)( tua t?? as ?1nt1!?nsn)(t? 1)( 0tt ?? 0ste?)(tu167。 拉普拉斯變換和傅立葉變換的關(guān)系 主要內(nèi)容 重點 難點 ?0，收斂邊界落于 s右半平面 ?0，收斂邊界位于 s左半平面 ?=0，收斂邊界位于虛軸 總結(jié) ?=0，收斂邊界位于虛軸 ?0，收斂邊界位于 s左半平面 拉氏變換與傅氏變換的關(guān)系 ? ??? ? dtetf tj?)(因果 ? ???0乘衰減因子 te ??dtetf tj? ? ??0)()( ???? js ??? ? ?0 )( dtetf st? ??? ? dtetf st)(?? js ??dtetf tj? ????? )()( ??0??0)(0??tft從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)(0??tft)(tue ataa??t)(tf0)1( 0 ??assF?? 1)(傅氏變換不存在，拉氏變換存在 ??j從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)(0??tft0)2( 0 ??)(tft)(tue at?a?a????j?assF?? 1)( ajjF ?? ?? 1)(?js ?從單邊拉氏變換到傅氏變換 — 有始信號 0)( 0 ??tft0)3( 0 ?? 存在傅氏變換，但收斂于虛軸，不能簡單用 ，要包含奇異函數(shù)項。 )(tussF1)( ? )(1)( ????? ?? jjF? ??? ?nnnjs ksFjF )()()( ????? ??js ?K1=1 從 的單邊拉氏變換求它的傅氏變換 )(.s in0 tut?)(.s i n)( 0 tuttf ??LT2020)(???? ssF? ??? ?nnnjs ksFjF )()()( ????? ?002020 22)(????jsjjsjssF??????? ?)()(2)( 002200 ??????????? ?????? jjF2020)()( ????? jjFK2 K1 167。 拉普拉斯變換的性質(zhì) 主要內(nèi)容 重點 難點 線性 時移性 單邊周期信號的拉氏變換 卷積定理 頻移特性 尺度變換特性 時間微分性質(zhì) 時間積分性質(zhì) 初始值定理 終值定理 復(fù)頻域微分 復(fù)頻域積分 卷積定理 尺度變換特性 時移性 初始值定理 拉氏變換的基本性質(zhì) （ 1） 線性 )(1tfk inii??)]([.1tfLTknii??dttdf )(微分 )0()( ?? fsSF積分 ? ??t df ?? )( sfs sF )0()( 39。 ??時移 )()(00 ttuttf ?? )(0 sFe st?頻移 atetf ?)()( asF ?拉氏變換的基本性質(zhì) （ 2） 尺度變換 )(atf ?????? asFa1)(l i m)0()(l i m0sSFftfst ???????終值定理 )(lim)()(lim 0 sSFftf st ??? ???卷積定理 )(*)( 21 tftf )().( 21 sFsF初值定理 )().( 21 tftf )(*)(2 1 21 sFsFj?線性 若 )()(11sFtf ? ?? ， )()(22sFtf ? ??C 1 ,C 2 為任意常數(shù)，則)()()()(22112211sFCsFCtfCtfC ?? ???例： ? ?tjtj eettf 0021)co s()( 0 ??? ????20