[研究生入學(xué)考試]拉普拉斯變換的定義(已修改)
2025-01-31 15:37 本頁面
【正文】 131 拉普拉斯變換的定義 第 13章 拉普拉斯變換 132 拉普拉斯變換的性質(zhì) 133 拉普拉斯反變換 134 運(yùn)算電路 135 應(yīng)用拉普拉斯變換分析電路 167。 131 拉普拉斯變換的定義 對于一階電路、二階電路，根據(jù)基爾霍夫定律和元件的 VCR列出微分方程，根據(jù)換路后動態(tài)元件的初值求解微分方程。對于含有多個動態(tài)元件的復(fù)雜電路，用經(jīng)典的微分方程法來求解比較困難（各階導(dǎo)數(shù)在 t=0+時刻的值難以確定）。拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解。 時域微分方程 頻域代數(shù)方程 拉氏變換 拉氏逆變換 求解 時域解 優(yōu)點(diǎn)：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動態(tài)電路。 相量法： iii ?? 21正弦量 正弦運(yùn)算簡化 為復(fù)數(shù)運(yùn)算 拉氏變換定義 ：一個定義在 [0， ∞）區(qū)間的函數(shù) f(t)，它的拉氏變換定義為： 0 dte)t(f)S(F st? ?? ???式中： s =? + j? (復(fù)數(shù) ) f(t) 稱為原函數(shù)，是 t 的函數(shù)。 F(s) 稱為象函數(shù)，是 s 的函數(shù)。 ????? ?? III21 相量?拉氏變換存在條件：對于一個函數(shù) f(t)，若存在正的有限值M和 c，使得對于所有 t 滿足： 0 dte)t(f)S(F st? ?? ???ctMe)t(f ?則 f(t)的拉氏變換 F(s)總存在。 積分下限從 0? 開始，稱為 0? 拉氏變換 。 積分下限從 0+ 開始，稱為 0+ 拉氏變換 。 ??? ??000積分下限從 0? 開始，可以計(jì)及 t=0時 f(t)所包含的沖激 。 ?????????????????反變換正變換 21 ??????de)j(F)t(fdte)t(f)j(Ftjjjtj傅立葉變換 拉氏反變換 ：如果 F(s)已知，由 F(s)到 f(t)的變換稱為拉氏反變換，它定義為： dse)S(Fj)t(f stjj?????? ???21特殊情況：當(dāng) ? =0， s=j?，且積分下限為－ ∞時，拉氏變換就是 傅立葉變換 )]([)( 1 sFLtf ??記作：(2)單位階躍函數(shù) (1)指數(shù)函數(shù) aseasdteeeL tasstatat??????? ??????101][ )(0sesdtedtettL ststst 101)()]([00?????? ??? ?? ? ??????)()( 0a tte at ?? ?? ?時當(dāng)(3)單位沖激函數(shù) 1)()()]([ 00 00 ??? ?? ????? ? dtetdtettL sst ???例 131 求以下函數(shù)的象函數(shù)。 167。 132 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 一、線性 )()]([, )()]([ 2211 SFtfLSFtfL ??若)()()()(])()([210 20 10 21SbFSaFdtetbfdtetafdtetbftafststst??????????????證：)]()([ 21 tbftafL ?則 )()( 21 SbFSaF ??22]11[21)](21[)][ s i n ()1????????????????SjSjSjeejLtLtjtj解：例 132 若： )1()()2)s i n ()()1atektfttf???? ?上述函數(shù)的定義域?yàn)?[0， ∞]，求其象函數(shù)。 )(][][)]1([)2assKaasKsKKeLKLeKL atat???????? ??二 、導(dǎo)數(shù)性質(zhì) 1. 時域?qū)?shù)性質(zhì) )0()(])([ ??? fSSFdt tdfL)0()())((0)()()(000??????????????????????fSSFdtstfetfetdfedtedttdfstststst證：則：設(shè)： ),()]([ SFtfL ?)t(dfdv,euv d uuvu d vst ?????? ?2222)0(1))](s i n (1[)][c os ()1:?????????????sssstdtdLtL解例 133 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)： ).()()2)。c os ()()1ttfttf????101)]([)]([1)]([),()()2??????sstdtdLtLstLtdtdt?????由于推廣： ])([ 22dttfdL)0()]0()([ ?? ???? ffSSFS)0()0()(2 ?? ???? fSfSFS])([ nndttfdL)0()0()0()()1(
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