[經(jīng)濟學(xué)]第七章拉普拉斯變換(已修改)
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【正文】 2022/1/4 1 目 錄 ?第二章 解析函數(shù) ?第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 ?第四章 解析函數(shù)的級數(shù)表示 ?第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 ?第六章 傅立葉變換 ?第七章 拉普拉斯變換 ?第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 2022/1/4 2 第七章 拉普拉斯 變換 上一章介紹的傅立葉變換在許多領(lǐng)域中發(fā)揮了重要的作用，特別是在信號處理領(lǐng)域，直到今天它仍然是最基本的分析和處理工具，甚至可以說信號分析本質(zhì)上即是傅氏分析（譜分析）．但是任何東西都有它的局限性，傅氏變換也是如此．因而人們針對傅氏變換一些不足進行了各種各樣的改進．這些改進大體分為兩個方面，其一是提高它對問題的刻畫能力；其二是擴大它本身的適用范圍．本章介紹的是后面這種情況． 2022/1/4 3 第七章 拉普拉斯 變換 ? 拉普拉斯變換的概念 ? 拉氏變換的性質(zhì) ? 拉普拉斯逆變換 ? 拉氏變換的應(yīng)用及綜合舉例 ?本章小結(jié) ? 思考題 2022/1/4 4 第一節(jié) 拉普拉斯變換的概念 1．拉普拉斯變換的定義 1 ( ) 0f t t ?定義 ：設(shè)函數(shù) 當 時有定義，s在 某一域內(nèi)收斂， 則稱記為：( ) ( )F s f t稱為函數(shù) 的拉氏變換， ( ) ( )f t F s稱為函數(shù) 的拉氏逆變換，記為：( ) ( 0)f t t ?函數(shù) ， 的拉氏變換0 ()stf t e d t s?? ??而積分 ，( 為一個復(fù)參量)()ft為函數(shù) 的拉普拉斯變換式，0( ) ( )stF s f t e d t?? ?? ?( ) [ ( )] .F s L f t?1( ) [ ( ) ] .f t L F s??就是 ( ) ( ) ( 0)tf t u t e ? ?? ?， 的傅氏變換.2022/1/4 5 ? 例 1． 0 , 0()1 , 0tutt??? ???求單位階躍函數(shù) ，的拉氏變換.解： 0(1 ) [ ( ) ]stL u t e d t?? ?? ? Re( ) 0s ?011 ,stess? ??? ? ?1[ ( ) ] , R e ( ) 0L u t ss??即： ；00011( 2 ) [ s g n ] ( s g n ) ,s t s t s tL t t e d t e d t ess? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???Re( ) 0s ?1[ sg n ] , R e ( ) 0L t ss??即： ；0011( 3 ) [ 1 ] ,s t s tL e d t ess?? ? ? ? ?? ? ? ?? Re( ) 0s ?1[1 ] , R e ( ) 0 .Lss??即：1/s的拉氏逆變換為哪個？？？ 1 , 0sg n 0 , | | 01 , 0tttt??????? ???符號函數(shù) ，( ) 1ft?( ) ( ) 0 0 .f t f t t??一般規(guī)定：在拉氏變換中 均理解為： ，2022/1/4 6 ? 例 2． ( ) .atf t e a?求指數(shù)函數(shù) 的拉氏變換（ 為實數(shù)）解： ()00[ ( ) ]a t s t s a tL f t e e d t e d t? ? ? ?? ? ?? ? ???( ) 0R s a??()011 ,saes a s a? ? ? ?? ? ???1[ ] , ( R e ( ) ) .atL e s asa???即：1[ ] , ( R e ( ) ) ,atL e s asa? ? ? ??1[ ] , ( R e ( ) R e ( ) ) .ctL e s csc???由上式可得： 2022/1/4 7 第二節(jié) 拉氏變換的性質(zhì) 1．線性性質(zhì) 1 1 2 2, [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )L f t F s L f t F s?? ??設(shè) 為常數(shù)，且有 ， ，則有：1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,L f t f t F s F s? ? ? ?? ? ?1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .L F F s f t f t? ? ? ?? ? ? ??一、線性與相似性質(zhì) 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,F f t f t F F? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 1 2[ ( ) ( ] ( ) ( ) ,F F F f t f t? ? ? ? ?? ? ? ?2022/1/4 8 ? 例 1． c os t?求函數(shù) 的拉氏變換.解： 1c o s ( )2j t j tt e e??? ???由于 ，1[ c o s ] ( [ ] [ ] ) ,2j t j tL t L e L e??? ?? ? ?221 1 1[
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