[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第七章 拉普拉斯變換-文庫吧
2024-12-14 12:18 本頁面
【正文】 ] .2ss j s j s? ? ?? ? ?? ? ?0[ c o s ] c o sstL t te d t???? ?? ?1[ ] , ( R e ( ) )atL e s asa???例2 中，計算很困難由線性性質(zhì)得：22[ c o s ]sLts? ?? ? ，即： 同理：22[ si n ] .Lt s???? ? w偶函數(shù) w奇函數(shù) 2022/1/4 9 ? 例 2． 151( ) [ ( ) ] .( 1 ) ( 2 )sF s L F sss?????已知 ，求解： 5 1 1 1( ) 2 3 ,( 1 ) ( 2 ) 1 2sFs s s s s?? ? ?? ? ? ?1[]atLe sa? ?1 1 111[ ( ) ] 2 [ ] 3 [ ]12L F s L Lss? ? ?? ? ???22 3 .ttee???2．相似性質(zhì) [ ( ) ] ( ) 0L f t F a???設(shè) ，則對任一實數(shù) 有：1[ ( ) ] ( ) .sL f a t Faa?1[ ( ) ] ( ) .F f a t Faa??2022/1/4 10 ?二、微分性質(zhì) 1．導(dǎo)數(shù)的象函數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則有 [ ( ) ] ( ) ( 0 ) .L f t sF s f? ??( ) 1 2 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0) ( 0) ( 0) .n n n n nL f t s F s s f s f f? ? ??? ? ? ? ?推廣： ( 1 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f ??? ? ? ?特別地，當(dāng) 時，有2 ( )[ ( ) ] ( ) , [ ( ) ] ( ) , , [ ( ) ] ( ) .nnL f t sF s L f t s F s L f t s F s? ??? ? ? 此性質(zhì)使我們有可能將函數(shù)的 微分方程轉(zhuǎn)化為的代數(shù)方程 ， 因此它對分析線性系統(tǒng)有重要的作用． ()[ ( ) ] ( ) ( )nnF f t j F???2022/1/4 11 ? 例 3． 解： 2( ) ( ) 0 ( 0) 0 , ( 0) .y t y t y y???? ?? ? ? ?求解微分方程 ，利用線性性質(zhì)及微分性質(zhì)，有 : 22( ) ( 0) ( 0) ( ) 0 ,s Y s sy y Y s??? ? ? ?代入初值 : 22( ) ,Ys s??? ?有前面結(jié)果，可以得到： 1122( ) [ ( ) ] [ ] s in .y t L Y L ts??????? ? ??( ) [ ( )] ,Y s L y t?令對方程兩邊取拉氏變換，有 : 2[ ( ) ( ) ] [ 0 ]L y t y t L??? ?? ，利用線性性質(zhì)，有 : 2[ ( ) ] [ ( ) ] 0L y t L y t??? ?? ，( 0) 0 , ( 0)yy ????解得 : 2022/1/4 12 2．象函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則 ( ) [ ( ) ]F s L tf t? ?? 11( ) [ ( ) ] .f t L F st ? ???或() ( ) ( 1 ) [ ( ) ] .n n nF s L t f t??一般地有 ? 例 4． ( ) si nf t t k t?求函數(shù) 的拉氏變換.解： 22[ si n ] ,kL k tsk? ?2 2 2 2 22[ s in ] [ ] .()d k k sL t k td s s k s k? ? ? ???222 2 2 2 2[ c o s ] [ ] .()d k s kL t k td s s k s k?? ? ???同理 ? 例 5． 22( ) c osf t t t?求函數(shù) 的拉氏變換.2 2 21[ c o s ] [ ( 1 c o s 2 ) ]2L t t L t t??2 6 22 2 3 2 31 1 2 ( 2 4 3 2 )[]2 4 ( 4 )d s s sd s s s s s??? ? ???()[ ( ) ] ( 1 ) ( ) .n n nL t f t F s??()[ ( ) ] ( ) ( ) .n n nF t f t j F s?2022/1/4 13 ?三、積分性質(zhì) 1．積分的象函數(shù) [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則01[ ( ) ] ( ) .tL f t d t F ss??推廣： 0 0 01[ ( ) ] ( ) .t t tnL d t d t f t d t F ss?? ? ?２．象函數(shù)的積分 [ ( ) ] ( )L f t F s?設(shè) ，則 ()[ ] ( ) ,sftL F s d st??? ? 1( ) [ ( ) ] .sf t tL F s d s???? ?或推廣：
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