傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用-文庫(kù)吧
2025-06-11 16:09 本頁(yè)面
【正文】 t+βF2t=αF1ω+βF2(ω)F1αF1ω+βF2ω=αF1t+βF2(t) （位移性質(zhì)） 設(shè)F[ft]＝F(ω)，則 F[f(t177。t0)]=e177。jωt0F[f(t)]F1[f(ω?ω0)]=e177。jω0tF[f(t)] （微分性質(zhì)）設(shè)F(ω)＝F[ft]，ft在(﹣∞,﹢∞)連續(xù)或可去間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)，且lim|t|→+∞f(t)=0，則：F[f39。t]=iωFω。F[fnt]=iωnFω。 證明 由傅里葉變換的定義有 Ff39。t=∞+∞f39。teiωtdt=∞+∞eiωtdf(t)=fteiωt|+∞∞+iω∞+∞f(t)eiωtdt=iωFω（積分性質(zhì)） 設(shè)Fft=F(ω)，若，limt→+∞∞tf(t)dt=0 則：F∞tf(t)dt=F(ω)iω 證明 因?yàn)椤辴f(t)dt39。=ft， 故由微分性質(zhì)得Fω=jωF∞tftdt， 即F∞tf(t)dt=F(ω)iω （卷積定理）如果F1ω=Ff1t，F(xiàn)2ω=Ff2t，則有：Ff1t*f2t=F1(ω)F2(ω)F1F1ω*F2(ω)=2πf1tf2t 證明 Ff1t*f2t=∞+∞f1t*f2teiωtdt=∞+∞∞+∞f1τf2tτdτeiωtdt=∞+∞f1τdτ∞+∞f2tτeiωtdt=∞+∞f1τeiωτ∞+∞f2tτeiωtτd(tτ)dτ=∞+∞F2ωf1τeiωtdτ=F1(ω)F2(ω)（Parseval恒等式） 如果有F(ω)＝Fft，則有∞+∞|ft|2dt=12π∞+∞F(ω)2dω 這個(gè)式子又叫做Parseval等式。 δ函數(shù)及其傅里葉變換 （δ函數(shù)） 滿(mǎn)足：（1）δt=0， t≠0，∞，t=0，（2）∞+∞δtdt=1 的函數(shù)是δ函數(shù)。（δtt0函數(shù)） 滿(mǎn)足：（1）δtt0=0， t≠t0，∞，t=t0，（2）∞+∞δtt0dt=1 的函數(shù)是δtt0函數(shù)。（δ函數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述）δτt=1τ， 0?t?τ，0， 其他，τ→0時(shí)，δτt的極限叫做δ函數(shù)，記作δt＝limτ→0δτt（δtt0函數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述）δτtt0=1τ， t0?t?t0+τ，0， 其他，τ→0時(shí)，δτtt0的極限叫做δtt0函數(shù)，記作δtt0＝limτ→0δτtt0（δ函數(shù)的篩選性質(zhì)） 對(duì)任意連續(xù)函數(shù)ft，有∞+∞δtftdt=f0∞+∞δtt0ftdt=ft0（δ函數(shù)的相似性質(zhì)）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則：δat=1aδt （a≠0）（單位階躍函數(shù)）δ函數(shù)是單位階躍函數(shù)在t≠0時(shí)的導(dǎo)數(shù)δt=u39。(t)這里u(t)=10 t?0t0稱(chēng)為單位階躍函數(shù)。（δ函數(shù)的傅里葉變換）因?yàn)镕δt=∞+∞δteiωtdt=eiωt|t=0=1Fδtt0=∞+∞δtt0eiωtdt=eiωt|t=t0=eiωt0所以δt F
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