傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用-全文預(yù)覽
【正文】 X(s)，Lyt=Y(s)，Lzt=Z(s)。t≥b（常系數(shù)線性微分方程組） 求x39。 證明 令ht=0tftdt，則ht=ft，h0=0，則：Lh39。 對(duì)上面的解取傅里葉逆變換，（δ函數(shù)的篩選性質(zhì)） 原定解問題的解為： ux,t= F1Uω，t=12π∞+∞πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωtπωjsinωtδω1ejωtdω=sintejxejx2j+costejx+ejx2=sintsinx+costcosx=cos?(tx) （存在性） 假如在0,+∞)這個(gè)區(qū)間上f*(t)可以滿足如下的條件： (1)在任意的一個(gè)有限的區(qū)間上面f*(t)分段連續(xù)； (2)?M0，M是常數(shù)，c00，使得f*(t)Mec0t， 則在半平面Re(s)c0上，0+∞f*(t)est存在，由這個(gè)積分確定的Fs解析。 定解問題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞喀氐某踔祮栴}：d2Udt2=ω2U，U|t=0=π[δω+1+δω1]，dUdt|t=0=πj[δω+1δω1]。故 對(duì)方程兩邊取傅里葉變換， 根據(jù)卷積定理可得：Gω=Hω+Fω ,，對(duì)需要求解的微分方程的兩邊取傅里葉變換，把它轉(zhuǎn)換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個(gè)方程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解，下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。（δtt0函數(shù)） 滿足：（1）δtt0=0， t≠t0，∞，t=t0，（2）∞+∞δtt0dt=1 的函數(shù)是δtt0函數(shù)。t=∞+∞f39。jω0tF[f(t)] （微分性質(zhì)）設(shè)F(ω)＝F[ft]，ft在(﹣∞,﹢∞)連續(xù)或可去間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)，且lim|t|→+∞f(t)=0，則：F[f39。（傅里葉積分定理） 若在（∞，+∞）上，函數(shù)ft滿足一下條件：（1）在任意一個(gè)有限閉區(qū)間上面ft滿足狄利克雷條件；（2）∞+∞ftdt+∞，即ft在（∞，+∞）上絕對(duì)可積；則ft的傅里葉積分公式收斂，在它的連續(xù)點(diǎn)t處12π∞+∞∞+∞f(τ)eiωτdτeiωτdω=ft在它的間斷點(diǎn)t處12π∞+∞∞+∞f(τ)eiωτdτeiωτdω=ft+0+ft02（傅里葉變換），則稱∞+∞eiωtftdt 為ft的傅里葉變換，記作Fω＝∞+∞eiωtftdt。亥維賽（18501925）在電學(xué)相關(guān)問題之中引入了算子運(yùn)算，而且得到了不少方法與結(jié)果，對(duì)于解決現(xiàn)實(shí)問題很有好處，這才引起了數(shù)學(xué)家對(duì)算子理論的嚴(yán)格化的興趣。傅里葉變換和拉普拉斯變換是兩種重要積分變換。利用變換可簡(jiǎn)化運(yùn)算，比如對(duì)數(shù)變換，極坐標(biāo)變換等。什么是積分變換呢？即為利用含參變量積分，把一個(gè)屬于A函數(shù)類的函數(shù)轉(zhuǎn)化屬于B函數(shù)類的一個(gè)函數(shù)。即使在19世紀(jì)初，拉普拉斯變換已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，但是關(guān)于拉普拉斯變換的相關(guān)研究卻一直沒什么太大進(jìn)展，直至一個(gè)英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，同時(shí)也是一位電氣工程師的O
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