傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質及應用(完整版)
【正文】 （傅里葉級數(shù)）設函數(shù)ft的周期為T，則它的傅里葉級數(shù)為：fTt=a02+n=1+∞ (ancosωt+bnsinωt) 上式中， ω=2πT a0=T2T2fTtdtan=2T+T2T2fTtcosnωtdt (n=1,2,3,?) bn=2T+T2T2fTtsinnωtdt (n=1,2,3,?) （傅里葉逆變換）ft=12π∞+∞eiωtFωdω（拉普拉斯變換） 若函數(shù)ft滿足0+∞estf(t)dt積分收斂，那么該積分記作Ls=Lft=0+∞estftdt式中s為復數(shù)，est為積分核，上式稱為拉普拉斯變換.（拉普拉斯逆變換）ft稱為F(s)的拉普拉斯逆變換ft＝L1ft（卷積）假如?1(t)和?2(t)是（∞，+∞）上面有定義的函數(shù)，則∞+∞ ?1(τ) ?2(tτ)dτ稱為?1(t)和 ?2(t)的卷積，記為?1(t)*?2(t)?1(t)*?2(t)＝∞+∞ ?1(τ) ?2(tτ)dτ （線性性質） 設α，β為常數(shù)，F(xiàn)1ω=F[?1(t)]，F(xiàn)2ω=F[?2(t)]則：FαF1t+βF2t=αF1ω+βF2(ω)F1αF1ω+βF2ω=αF1t+βF2(t) （位移性質） 設F[ft]＝F(ω)，則 F[f(t177。傅里葉變換能夠分析信號的成分，可以當做信號的成分的波形有很多，例如鋸傅立葉變換是利用正弦波來作為信號的成分。積分變換的使用，可以使求解微分方程的過程得到簡化，比如乘積可以轉化為卷積。算子理論最初的理論依據(jù)就是拉普拉斯變換的相關理論，拉普拉斯變換相關理論的繼續(xù)發(fā)展也是得益于算理理論的更進一步發(fā)展。F[fnt]=iωnFω。(t)這里u(t)=10 t?0t0稱為單位階躍函數(shù)。 求出原方程的解：gt=12π∞+∞Gωejωtdω=12π∞+∞Hω1Fωejωtdω求微分積分方程ax39。0…fn10 (Re s＞c) 更一般的，?n∈Z+，有：Lfnt=snFssn1f0sn2f39。=1x+y39。0=0的解 解 （微分性質）可知Ltx39。的拉普拉斯變換的本質是fteβt的傅里葉變換，對于 來說，數(shù)（原函數(shù)乘以指數(shù)衰減函數(shù)項），分因子（ds=idω），這種變換就是的拉普拉斯變換。 Sons Inc24。斯變換的特例，里葉變換要寬， 總結本文先介紹了一些傅里葉變換的基礎知識，先后介紹了兩種不變換的性質，對重要的性質或定理進行了證明，并且介紹了兩種變換的應用，列舉了一些立體加以說明，最后總結了一下兩種變換的關系。=ddsLx39。=0 滿足x0=y0=z0=0的解 解 設Lxt=X(s)，Lyt=Y(s)，Lzt=Z(s)。 證明 令ht=0tftdt，則ht=ft，h0=0，則：Lh39。 定解問題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞喀氐某踔祮栴}：d2Udt2=ω2U，U|t=0=π[δω+1+δω1]，dUdt|t=0=πj[δω+1δω1]。 ,，對需要求解的微分方程的兩邊取傅里葉變換，把它轉換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個方程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解，下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。t=∞+∞f39。（傅里葉積分定理）
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