傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-23 16:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 F1 , 1， δtt0 F F1 , eiωt0即δt和1，δtt0和eiωt0分別構(gòu)成了傅里葉變換對。 ,，對需要求解的微分方程的兩邊取傅里葉變換，把它轉(zhuǎn)換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個方程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解，下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。 求積分方程0+∞gωsinωtdω=f(t)的解g(ω)，其中ft=π2sint， 0t≤π 0， tπ解 該積分方程可改寫為π20+∞gωsinωtdω=π2f(t) π2f(t)為的傅里葉正弦逆變換，故有：gω=0+∞π2gωsinωtdω=0πsintsinωtdt =120πcos1ωtcos1+ωtdt=sinωπ1ω2 求積分方程gt=ht+∞+∞fτgtτdτ， 其中ft，ht是已知函數(shù)，而且ft，gt，ht的傅里葉變換存在。 解 設(shè)Fgt=G(ω)，F(xiàn)ht=H(ω)。（卷積）可 知，方程右端第二項=ft*gt。故 對方程兩邊取傅里葉變換， 根據(jù)卷積定理可得：Gω=Hω+FωGω， 所以Gω=Hω1Fω。 求出原方程的解：gt=12π∞+∞Gωejωtdω=12π∞+∞Hω1Fωejωtdω求微分積分方程ax39。t+bxt+c∞txtdt=h(t) 的解，其中∞t+∞，a，b，c均為常數(shù)， h(t)為已知函數(shù)解 （線性性質(zhì)），（微分性質(zhì)），（積分性質(zhì)），且記Fxt=Xω，F(xiàn)ht=H(ω)對原方程兩邊取傅里葉變換：ajωXω+bXω+cjωXω=H(ω),Xω=H(ω)b+jaωcω.而上式的傅里葉逆變換為xt=12π∞+∞Xωejωtdω=12π∞+∞Hωb+jaωcωejωtdω（一維波動方程的初值問題） 用傅里葉變換求定解問題：?2u?t2=?2u?x2， ∞x+∞，t0u|t=0=cosx， ?u?t|t=0=sinx， 解 由于未知函數(shù)u(x,t)中x的變化范圍為(∞，+∞)， 故對方程和初值條件關(guān)于x取傅里葉變換，記Fux，t=Uω，t，F(xiàn)?2u?x2=(jω)2Uω，t=ω2Uω，t，F(xiàn)?2u?t2=?2?t2Fux，t=d2dt2Uω，t，F(xiàn)cosx=π[δω+1+δω1]，F(xiàn)sinx=πj[δω+1δω1]。 定解問題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞喀氐某踔祮栴}：d2Udt2=ω2U，U|t=0=π[δω+1+δω1]，dUdt|t=0=πj[δω+1δω1]。 Uω，t是一個關(guān)于t：Uω，t=c1sinωt+c2cosωt。 由初值條件可知：c1=πωjδω+1δω1，c2=π[δω+1+δω1]。 因此初值問題的解為：Uω，t=πωjδω+1δω1sinωt+πδω+1+δω1cosωt=πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωtπωjsinωtδω1。 對上面的解取傅里葉逆變換，（δ函數(shù)的篩選性質(zhì)） 原定解問題的解為： ux,t= F1Uω，t=12π∞+∞πcosωt+πωjsinωtδω+1+πcosωtπωjsinωtδω1ejωtdω=sintejxejx2
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