第八章拉普拉斯變換(編輯修改稿)
2025-08-16 22:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解 】 在 的半平面上， 同理 例 若 （ 為復(fù)數(shù)），求拉氏變換 【 解 】 拉氏變換的存在定理 定理 拉氏變換存在定理 若函數(shù) 滿足下述條件： （ 1）當(dāng) 時(shí)， =0；當(dāng) 時(shí)， 在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)； （ 2）當(dāng) 時(shí)， 的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一 指數(shù)函數(shù)，即存在常數(shù) 及 ，使得 則 在半平面 上存 在且解析． 【 證明 】 ：證明 存在．由 所以上述積分絕對(duì)收斂，且 在右半平面 存在． 然后證明 解析．為此，在積分號(hào)內(nèi)對(duì) 導(dǎo)數(shù)，并取 求偏 為任意實(shí)常數(shù)），則有 故積分 在半平面 上一致收斂，可 交換積分與微商的次序 ，即 故 的導(dǎo)數(shù)在 且有限，可見(jiàn) 在半平面 內(nèi)解析． 上處處存在 拉普拉斯逆變換概念 定義 拉氏逆變換 若滿足式： ，我們稱 為 的 拉普拉斯逆變換 ，簡(jiǎn)稱 拉氏逆變換 （或稱為 原函數(shù)），記為 ．為了計(jì)算拉氏逆 變換的方便，下面給出 拉氏逆變換的具體表達(dá)式 ． 實(shí)際上 的拉氏變換，就是 的傅氏變換 .因此，當(dāng) 滿足傅氏 積分定理的條件時(shí)，根據(jù)傅里葉積分公式， 在連續(xù)點(diǎn)處 等式兩端同乘 ，并注意到這個(gè)因子與積分變量 無(wú)關(guān)， 故 時(shí) 令 ，則有 （ ） 上式為 的 拉普拉斯逆變換式，稱為拉氏逆變換式． 記為 ．并且 稱為 的 拉普拉斯逆變換，簡(jiǎn)稱拉氏逆變換（或稱為像原函 數(shù)或原函數(shù)）． （ ）稱為黎曼－梅林反演公式，這就是從像函數(shù)求原函數(shù) 上式右端的積分稱為拉氏反演積分．公式 的一般公式． 注意：公式 和公式
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