電路的拉普拉斯變換分析法(編輯修改稿)
2024-09-01 10:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??式中的諸系數(shù) an , bn 都是實數(shù)， m、 n都是正整數(shù)。 如 m≥n時，可以將假分式可分解為多項式與真分式之和。 N(S)=0的根被稱為 F(S)的 零點 ； D(S)=0的根被稱為 F(S)的 極點 。 為了分解 F(s)為部分分式，只需討論 D(s)=0的根。 D(s)=0均為單根，即無重根的情況（設 mn） 因 D(s)是 s的 n次多項式，故可分解因式如下 由于 D(s)無重根，故 sn都不相等， F(S)寫成部分分式的形式為 )()())(()( 21 nk sssssssssD ? ??nnkkssAssAssAssAsF?????? ??2211)(A1， A2， ... Ak... An為待定系數(shù)，稱為 F(s)在各極點處的 留數(shù) 。 Ak 如何確定？ nnkkkknnkkkkkkkssAssAssAssssAssssAssssAssssAssssAsssFss????????????)()()()()()()()()(22112211????ksskk sssDsNA??????? ? )()()(令 kss ?將等式的兩邊乘以 (ssk) nnkkssAssAssAssAsF?????? ??2211)(在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐項對部分分式求拉氏反變換，得 tskkk keAssAL ? ][1F(s)的原函數(shù)為 0 ])( )()[(][])( )([)(1111 ???? ?? ? ?? tesDsNssssALsDsNLtf nktsssknk kk kk由此可見，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項之和 例 1 解 求 的原函數(shù)。 35210114)(22?????sssssF首先將 F(s)化為真分式 ? ?22224 11 10 4 1 422532 5 3 2 5 3 222s s s sFss s s s ss????? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??????將分母進行因式分解 ? ? ? ?2 5 3 312 2 2D s s s s s? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?將 F(s)中的真分式寫成部分分式 1224132 5 3 2 12AAss s s s???????? ? ??? ???求真分式中各部分分式的系數(shù) ? ?? ?? ?? ?? ?? ?111112324416331223453212sssssNs ssA s s sDsssssAsss??????????????????? ? ? ? ??????????? ?? ??????? ???????????????? ? ? ??????????????????于是 F(s )可展開為 ? ? 1 6 1 52 32 1 22Fss s??????? ? ? ??????? ?????其原函數(shù)為 ? ?? ? ? ?21 1 1 123254 11 10 3 2232 5 3 125232ttssL L L Ls s sst e e td? ???? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??????? ?????? ? ????0?t注意：在對假分式進行反變換時，應首先將假分式變?yōu)檎娣质?，然后再進行部分分式分解。 例 ２ 解 求 的原函數(shù)。 52)( 2 ??? ssssF先將分母分解因式 052)( 2 ???? sssD得 21))204(2(212,1 js ????是一對共軛復數(shù) )2(41)21()21)(21(211 jjsjsjssAjs???????? ????? ??)2(41)21()21)(21(212 jjsjsjssAjs??????? ?????? ?方法一 由 由于 為一對共軛值， A1， A2則也必為共軛值， 所以 A2可由 A1直接求得。 *21 ss ?于是 21)12(4121)12(41)(jsjjsjsF??????對上式逐項求反變換，并加以整理得 1 1 12( 1 2 ) ( 1 2 )11( 2 1 ) ( 2 1 )44[]2 5 1 2 1 21 [ ( 2 1 ) ( 2 1 ) ]41 ( 2 c o s 2 sin 2 ) 02j t j ttjjsL L Ls s s j s jj e j ee t t t ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?方法二 當 D(s)為二次三項式，且 D(s)=0的根為一對共軛復數(shù)時，還可以使用更簡便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項式的平方，將一對共軛復根作為一個整體來考慮。 F(s)可配方為 22222222)1(12)1(1 4)1(4)12(52)(????????????????ssssssssssssF直接查閱拉普拉斯變換表可得 0 )2s i n2c o s2(21 2s i n212c o s ]2)1(12)1(1[)]([222211?????????tttetetesssLsFLttt計算步驟大為簡化 例 ３ 解 求 的原函數(shù)。 象函數(shù) F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無法直接應用，這時可先將 F(s)改寫成 ss esFsFssessssF 221222 )()(65365)( ????????其中 653)(65)(2221??????sssFssssF分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解 653)(22???? ssessF s根據(jù)時間平移性質可知 的原函數(shù)，就等于 F2(s)的原函數(shù)再平移 2個時間單位的結果。 sesF 22 )( 分別求 F1(s)， F2(s)的原函數(shù) )()32(]3322[)]([ 3111 teessLsFL t ? ??????)()33(]3323[)]([ 32121 teessLsFL tt ? ?????1 1 2122 3 2 ( 2 ) 3 ( 2 )( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]
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