電路的拉普拉斯變換分析法(已改無錯字)
2022-09-02 10:03:50 本頁面
【正文】 ( 2 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( 2 ) 0st t t tf t L F s L F s F s ee e t e e t t?? ? ? ?? ? ? ?于是可得 D(s)=0的根有重根的情況（設 mn） 設 D(s)=0在 s=s1處有 p階重根，這時可將 F(s)寫成下面的形式 )()()()(1 sQsssNsFp?把 F(s)展開成部分分式 pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF???????????33221121131112111)()()()()(A2， A3， ... Anp 各留數(shù)仍可照無重根的情況求取 pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF???????????33221121131112111)()()()()(1)()()(111sssDsNssA??A1 A1 ... A1p各留數(shù) ，不能再采用這種方法。因為這樣將使導數(shù)分母中出現(xiàn)“ 0”值，而得不出結果。 留數(shù) A11的求取 ，可將等式的兩邊乘以 令 s=s1 pss )( 1)()()( 11 sFsssF p?于是 ?? ?????? 1112113112111 )()()()( pp ssAssAssAAsF為此，引入輔助函數(shù) ?? ?????? 1112113112111 )()()()( pp ssAssAssAAsF對 s微分得 ...))(1(...)(2)( 211113121 ??????? pp sspAssAAs sF1)(112ssssFA????1)(!21 12213sssFdsdA??1)()!1( 1 1111sskkk sFdsdkA ??顯然 同理 依此類推，得一般形式為 )()!1()( 111111 tetkAssAL tskkkk ????????? ?????????pnitsitsptsptsptspteAteAtteAtetpAtetpAsFLi21)1(12121111)()()( )()!2()()!1()(1111????? ?確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。 所以 F(s)對應的原函數(shù) 因為 例 解 求 的原函數(shù)。 2)1)(3(2)(????sssssFD(s)=0有四個根，一 個二重根 s1= 1和 s2=0， s3= 3 兩個單根 31)1()1)(2(2)( 32122112 ???????????sAsAsAsAsssssF431|)3()32)(2()3( ])3(2[])1)(([211|)3(2])1)(([22112121211??????????????????????ssssssssssdsdssFdsdAssssssFAsss其中各待定系數(shù)分別確定如下 故部分分式可表示為 121)1(2)3)((32)1)(3(2)(32330202????????????????sssssssssFAsssssFA312132143)1(21)( 2???????sssssF131 3 2 1[ ( ) ] 02 4 3 1 2t t tL F s te e e t ? ? ? ?故得 取反變換得 以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時，可根據(jù) F(s)的分母有無重根分別用前述兩種方法求各極點的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。 復頻域電路 用拉氏變換分析電路暫態(tài)時可不必寫出微分方程再進行變換，可 先將時域電路變成復頻域電路模型 ， 再根據(jù)復頻域電路直接寫出運算形式的電路方程 ，使計算過程更為簡化。 根據(jù)元件電壓、電流的時域關系，可以推導出各元件電壓電流關系的運算形式。 電阻元件 R i ( t ) u ( t ) 在時域中，有 )()( tRitu ?R I ( s ) U ( s ) R i ( t ) u ( t ) )()]([ sUtuL ?)()]([ sItiL ?)()( sRIsU ?設 ， 等式兩邊取拉氏變換，得 )()( tRitu ? 時域形式 復頻域形式 電容元件 C i ( t ) u ( t ) 在時域中，有 )0(1111)( 000 ?? ????? ????CtttC uidCidCidCidCtu ????)()]([ sUtuL CC ?)()]([ sItiL ?susIsCsUCC)0()(1)( ??令 對等式取拉氏變換并應用積分性質(zhì)得 I ( s ) U ( s ) 1 sC u C (0 ) s susIsCsUCC)0()(1)( ??容端電壓的象函數(shù)（稱 象電壓 ）由兩部分組成： 第一部分是電流的象函數(shù)（稱 象電流 ）與運算形式的容抗（簡言 容抗 ）的 積 ； 第二部分 相當于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為 內(nèi)運算電壓源 。 電容 C在復頻域中串聯(lián)形式的電路模型 I ( s ) U ( s ) sC Cu C (0 ) susIsCsUCC)0()(1)( ??)0()()( ? CC CUss C UsI象電流 也由兩部分組成： 第一部分 是 sC（稱 容納 ）和象電壓 UC(s)的 乘積 ； 第二部分 相當于某電流源的象函數(shù)，稱 內(nèi)運算電流源 。 電容 C在復頻域中并聯(lián)形式的電路模型 電感元件 在時域中，有 L i ( t ) u ( t ) dtdiLtu ?)()0()()( ? Liss L IsUsisUsLsI)0()(1)( ??令 L[u (t)]=U (s),L[i(t)]=I(s)，對上式取拉氏變換 或 I ( s ) U ( s ) L i (0 ) sL 1 sL I ( s ) U ( s ) i (0 ) s sL )0(LisiL )0( 感抗 內(nèi)運算電壓源 內(nèi)運算電流源 串聯(lián)形式的電路模型 并聯(lián)形式的電路模型 互感元件 在時域中，有 L 1 i 2 ( t ) L 2 M i 1 ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) sL 1 I 2 ( s ) sL 2 sM I 1 ( s ) U 1 ( s ) U 2 ( s ) L 1 i 1 (0 ) M i2 (0 ) L 2 i 2 (0 ) M i1 (0 ) dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1222
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