【正文】 第 7章 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 拉普拉斯變換的基本性質 拉普拉斯反變換 復頻域電路 電路的拉普拉斯變換分析法 拉普拉斯變換的定義 ?拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是求解 常系數(shù)線性微分方程 的 工具 。 設一個變量 t的函數(shù) f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術中處理的函數(shù)都滿足這一條件） 拉氏 正變換 Sj????f(t)： 原函數(shù) ； F(S)： f(t)的 象函數(shù) 。 0??0 t 0 ) ( ? t f 0 t ? ? ? 0 ) ( dt e t f st 為有限值 積分下線 0 后面討論中寫成 0 ?? ? 0 )()( dtetfsF st拉氏 正變換 例 用定義求 f(t)象函數(shù)。其中 a為實數(shù)，且 a0。 )()( tetf at ??解 ]l i m1[1)()()()(0)(0)(00tasttastasstatsteasasedtedteedtetfsF??????????????根據(jù)拉氏變換的定義 ?? js ??因為t j t a t e e ? ? ? ? ? ) ( lim =0 0lim )( ??? tast e)( a??as ?1 )( a??a?? 稱為 收斂域 拉氏反 變換 ? ?? ?? jj st dsesFjtf ??? )(2 1)()]([)()]([)(1 sFLtftfLsF??拉氏正變換 拉氏反變換 拉氏變換對 由 F(s)到 f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換 下面來討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換 工程中常見的函數(shù) (除少數(shù)例外 )有下列兩類 :(1) t的指數(shù)函數(shù)； (2) t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導出。 指數(shù)函數(shù) ? ?tet? ?(?為常數(shù) ) 由定義可得 的拉普拉斯變換為 1()Fss ?? 由此可導出一些常用函數(shù)的變換 ： 單位階躍函數(shù) ? ? t ? ? ?tet? ??????0001)(ttt?1()Fss ?? ??0 ? ?? ? 1Lt s? ?正弦函數(shù) sin ? t ? ? t ? ? ?j t j t1s i n 2jt e e??? ?故有 ? ?? ? 22s i n ???? ?? sttL? ?? ? ? ? ? ?22tjtjj1j1j21j21s i n????????????????????????????sssteeLttL余弦函數(shù) cos ? t ? ? t ? ? ?j t j t1c o s 2t e e??? ??? ?? ? 22c o s ??? ?? s sttL故有 ? ?? ? ? ? ? ?22tjtjj1j12121c o s?????? ??????????????????????? ssssteeLttL衰減正弦函數(shù) ?t ? sin e ? t ?? ? ? ? ?jj1sin2jttte t e e? ? ? ?? ? ? ?????])( 1)( 1[2 1]si n[ ??? jasjasjteL at ????22)( ????? as故有 22)(]s i n[ ??????asteLat衰減余弦函數(shù) ?t ? cos e ? t ?? 與衰減正弦函數(shù)相類似可得 ? ?? ? ? ? 2 2c o st sL e t t s? ??? ?? ?? ??雙曲線正弦函數(shù) sh bt ? ? t ? ? ?1sh 2 ttt e ebbb ?? ?? ? 22shL t t s bb? b? 故有 雙曲線余弦函數(shù) ch bt ? ? t ? 與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得 ? ?? ? 22ch sL t t sb? b? t的正冪函數(shù) (n為正整數(shù) ? ?ntt?由定義可得 的拉普拉斯變換為 ? ?ntt?? ?? ? 0n n s tL t t t e d t? ? ? ? 設 , d dn s tu t v e t??則 000101000n s tns t n s tn s tt e dt udvuv udvtne t e dtssnt e dts???? ?????? ???????亦即 ? ?? ? ? ?? ?1nn nL t t L t ts?? ?依次類推，則得 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?12111 2 2 1 1 !n n nnn n nL t t L t t L t ts s sn n n ns s s s s s s? ? ??????當 n=1時，有 21)]([sttL ??? ?? ? ? ?? ?1nn nL t t L t ts?? ? 沖激函數(shù) A d（ t） 沖激函數(shù)的定義 ? ? ? ? ? ?d0t f t t fd?? ??可得 ? ?? ? ? ? 00 dstL A t A t e t A e Add ? ? ? ??對于 單位沖激函數(shù) 來說，可令上式 A=1，即得： ? ?? ?t1L d ?書中表 7 1給出了一 些常見函數(shù)的拉普拉斯變換 拉氏變換法的實質就是將微分方程經(jīng)數(shù)學變換轉變成代數(shù)方程，然后進行代數(shù)運算，再將所得的結果變換回去。它和應用對數(shù)計算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對數(shù)運算中變換的對象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對象是函數(shù)。 （ 2） 對于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉換成為簡單的初等函數(shù)。 拉氏變換法的 優(yōu)點 ： （ 1） 求解過程得以簡化，又同時給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動包含在變換式中，對于換路起始時有突變現(xiàn)象的問題處理更方便； 拉普拉斯變換的基本性質 拉普拉斯變換 有許多重要性質。利用這些基本性質可以方便地求出一些較為復雜函數(shù)的象函數(shù)，同時通過這些基本性質可以將電路在時域內的線性常微分方程變換為復頻域內的線性代數(shù)方程。從而得到復頻域中的等效電路。 線性特性 若 f1(t) F1(s) L f2(t) L F2(s) 則 ) ( ) ( 2 2 1 1 t f a t f a ? L ) ( ) ( 2 2 1 1 s F a s F a ? a1， a2為任意常數(shù) 證明 求函數(shù)的象函數(shù) ? ?1 1 2 2 1 1 2 20 0 0( ) ( ) ( ) ( )s t s t s ta f t a f t e d t a f t e d t a f t e d t ? ? ? ? ? ?? ? ?)()( 2211 sFasFa ??例 tata beetf 21)( ??解 211][)]([ 21asbasbeeLtfLtata???? 尺度變換 若 f (t) F (s) L 則 f1(at) L )(1 asFaa為大于零的實數(shù) 證明 ?? ? ? ??