第八章拉普拉斯變換-文庫吧資料
2025-07-26 22:39本頁面
【正文】 在沒有定 義的情況下問題得到了解決．但是仍然不能回避 在 上絕對可積的限制．為此，我們考慮到當(dāng) 時，衰減速度很快的函數(shù)，那就是指數(shù)函數(shù) 于是有 上式即可簡寫為 這是由實(shí)函數(shù) 通過一種新的變換得到的復(fù)變函數(shù)， 這種變換就是我們要定義的 拉普拉斯變換 ． 定義 設(shè) 實(shí)函數(shù) 在 上有定義，且積分 （ 為復(fù)參變量） 上某一范圍 對復(fù)平面 收斂，則由這個積分所確定的函數(shù) （ ） 稱為函數(shù) 的 拉普拉斯變換，簡稱拉氏變換（或稱為 像函數(shù)），記為 （ 說明：有的書籍記： ＝ ，即 為函數(shù) 的拉氏變換） 綜合傅氏變換和拉氏變換可見，傅氏變換的像函數(shù)是一個 實(shí)自變量為 的復(fù)值函數(shù)，而 拉氏變換的像函數(shù) 則是一個復(fù) 變數(shù) 的復(fù)值函數(shù)，由式（ ）式可以看出， 的拉氏變換實(shí)際上就是 的傅氏變換 （其中 為單位階躍函數(shù)），因此拉氏變換實(shí)質(zhì)上就是 一種單邊的廣義傅氏變換 ，單邊是指積分區(qū)間從 0到 廣義是指函數(shù) 要乘上 之后再 作傅氏變換． 例 求拉氏變換 【 解 】 在 ,(按照假設(shè) ) 即為 的半平面， 例 求拉氏變換 【 解 】 在 的半平面 , 同理有 例 求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換． 【 解 】 由拉氏變換的定義，有 設(shè) ，由于 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時， ，從而有 例 求拉氏變換 為常數(shù) . 【 解 】 在 的半平面上 請記住這個積分以后會經(jīng)常用到． 例 若 或 拉氏變換 為實(shí)數(shù)），求 【 解 】 同理 例 求拉氏變換 為常數(shù) . 【
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