拉普拉斯變換1-4節(jié)-文庫吧資料
2024-08-18 07:35本頁面
【正文】 際應用中，為了突出“滯后”這一特點，常在 f（ t－ a） 這個函數(shù)上再乘 u（ t－ a）， 所以滯后性質也表示為 L［ u（ t－ a） f（ t－ a）］ ＝ eapF（ p） 第七章 拉普拉斯變換 例 77 求 Ｌ ［ u（ t－ a）］ 解 因為 ，由滯后性質得 ptuL1)]([ ? peatuL ap 1)]([ ???解 因為 ， apeL at ??1][)]([ )( ?? ?? tueL ta例 78 求 )(1)]([ )( apapetueL pta ???? ?? ，?? ?所以 例 79 求下列函數(shù)的拉氏變換： ???????.,0,)(21tacatctf（１） ????????????.4,0,42,1,20,3)(ttttf（２） 解 （ 1）當 t ≥a時， f（ t）的值是在 c1的基礎上加上了 (c２ － c1 )，即 ( c２ － c1)u(t － a ).故可把 f（ t）寫成 f（ t） = c1 u (t)+ ( c２ c1 ) u （ t－ a ） pecccepccpctfL papa ?? ?????? )()]([ 121121于是 第七章 拉普拉斯變換 （ 2）仿（ 1），把 f（ t）寫成 f（ t） =3u（ t） 4u（ t2） +u（ t4） ，于是 peepepeptfLpppp 4242 4343)]([ ???? ??????)21(2 33 apapapap eepcepcepcpc ??? ?????? 我們可以用拉氏變換定義來驗算例 79所得的結果．由例 79看出，用單位階梯函數(shù)可將分段函數(shù)的表達式合寫成一個式子． ??????????????atatacatcttf3,03,20,0,0)(例 710 已知 ，求 L[f（ t） ] 解：所示， f（ t）可用單位階梯函數(shù)表示為 f(t)=cu(t)+cu(ta)2cu(t3a) ，于是 )3(2)()([)]([ atcuatcutcuLtfL ?????第七章 拉普拉斯變換 由拉氏變換定義來驗證： ? ? ?? ?? a aa ptpt dtcedtcetfL 0 3 2)]([)21()221( 33 apapapapap eepceeepc ????? ??????? 性質 4（微分性質） 若 ，并設 在 [0， +∞]上連續(xù)， 為分段連續(xù)，則 )()]([ pFtfL ?)(tf)(tf?)0()()]([ fppFtfL ??? (75) 證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得 dtetftfL pt? ?? ???? 0 )()]([ ? ?? ???? ?? 00 )(])([ dtetfPetf ptpt)0()()]([)0(0)]([ fppFtfpLftfL ?????? 微分性質表明：一個函數(shù)求導后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù) p ，再減去函數(shù)的初始值． 可以證明，在 存在的條件下，必有 ．因此 0)(lim ?????ptt etf)]([ tfL第七章 拉普拉斯變換 應用上述結果，對二階導數(shù)可以推得 )}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([ 2 fpfpFpffppFpftfpLtfL ??????????????同理，可得 )}0()0()0({)()]([ 23 ffpfppFptfL ??????????以此類推，可得 )}0()0()0({)()]([ )1(21)( ??? ????? nnnnn ffpfppFptfL ?（ 76） 由此可見， f(t) 各階導數(shù)的拉氏變換可以由 p 的乘方與象函數(shù) F(p)的代數(shù)式表示出來．特別是當初值 時，有更簡單的結果 0)0()0(39。且 Ｌ [f1(t)[=F1(p)， Ｌ [f２ (t)[=F２ (p)則Ｌ [a1f1(t)+a2f2(t)]=a1L[f1(t)]+a2L[f2(t)]=a1F1(p)+a2F2(p) （ 72） 證明 )(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[appappaeLLaeLaeaL atatat ?????????? ???解 （１） 412221]2si n21[]c o s[ si n222 ?????? pptLttL（２） 拉氏變換有以下幾個主要性質，利用這些性質，可以求一些較為復雜的函數(shù)的拉氏變換． 拉氏變換的性質 第七章 拉普拉斯變換 性質 2（平移性質） 若 L［ f(t)］ =F(p) ，則 ?? ?? ???? ? ???? 0 )(0 )()()()]([ apFdtetfdtetfetfe：L tapptatat證明?? ?? ???? ? ???? 0 )(0 )()()()]([ apFdtetfdtetfetfe：L tapptatat證明解 因為 , , , 21][ptL ? 22][ si n ????? ptL
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