第九章拉普拉斯變換(編輯修改稿)
2024-09-07 12:05 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 iiNiisH s Ks??,ij 分別為 零點(diǎn) 和 極點(diǎn) 這類因果穩(wěn)定 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為： ????????????11()()()MiiNiijH j Kj????????????11()()()MiiNiijH j Kj 零點(diǎn)指向點(diǎn) jω的向量為 零點(diǎn)向量 ，記作 Zi 極點(diǎn)指向點(diǎn) jω的向量為 極點(diǎn)向量 ，記作 iP? ????iji i iP = P e j? ????ijiiiZ = Z e j 幅頻響應(yīng) H(j ω)： 11| ( ) | | |MiiNiiZH j = KP? ???? 11()MNiiiiHj ? ? ???? ? ???例： asass???)(H求其幅頻特性與性與相頻特性曲線 ⅹ a a O R e { s } j Im { s} asa ??? }R e {,0 1 ω | H(j ω } | 1 ω ＜ H ( j ω } a a π /2 π π /2 π 1|||)(| ???? aj ajjH ???aaajH?????? a r c t a n2a r c t a na r c t a n)( ??????例：根據(jù)零級(jí)點(diǎn)圖，利用傅立葉變換的幾何求值方法，確定以下拉普拉斯變換的模特性近似為低通、高通或者帶通： 1}R e{)3)(1( 1)(H( a) 1 ????? ssss21}R e {1s)(H( b ) 22 ????? ssss1}R e{1s2)(H( c) 223 ????? ssss 拉氏變換的性質(zhì) 一、線性 1 1 1( ) ( ) ,x t X s RO C R? ?? ?2 2 2( ) ( ) ,x t X s RO C R? ?? ?則 1 2 1 212( ) ( ) ( ) ( ) ,ax t bx t aX s bX sRO C R R? ? ?? ?包 括?ROC但有時(shí)候會(huì)擴(kuò)大 例： )(s in)( 0 ttutx ??已知： 求： X(s) 解： )()e2 1)( 00 tuejtx tjtj ?? ??? （202000)11(2 1)(X ???? ?????? sjsjsjs則： 0}R e {: ?sR O C2020 )}({ c o s ?? ?? ssttuL同理：0}R e {: ?sR O C二、時(shí)移性質(zhì) 00( ) ( ) ,stx t t e X s R O C R?? ? ?? ?例： ??????? ））） TtTtttx 2((()( ???求： X(s) 解： ????? ?? sTsT es 2e1)(X則：sT?? e11 0}R e {: ?sR O C）nTttxn?? ???()(0?三、 S域平移 0 0( ) ( )ste x t X s s? ?? ? 0R e { }R O C R s??例： )()s i n ()( 0 tutetx at ??? 求： X(s) 20200 )}(){ s i n ( ?????stutL20200 )()}()s i n ({ ???????astuteL at解：已知 則 2020 )()}()c o s ({ ?? ?????asastuteL at同理： 四、時(shí)域尺度變換 )(|| 1)( asXaatx ?五、共軛 注：若 x(t)為實(shí)函數(shù)，如果 X(s)有一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)為復(fù)數(shù)在 s=s0處，那么 X(s)也一定有一個(gè)復(fù)數(shù)共軛的 極點(diǎn)或零點(diǎn)，且對(duì)于 X(s)的部分分式展開(kāi)式中的系數(shù)也互為共軛。 *0ss?RR O CsXtx ?? )()( ***aRR O C ?六、卷積性質(zhì) 1 1 1( ) ( ) ,x t X s RO C R? ?? ?2 2 2( ) ( ) ,x t X s RO C R? ?? ?那么 1 2 1 212( ) * ( ) ( ) ( ) ,x t x t X s X sRO C R R? ??包 括七、時(shí)域微分 () ( ) ,d x t s X sdt ? ?? R O C R包 括但 ROC有可能擴(kuò)大 八、 s域微分 ()( ) ,d X stx tds? ? ?? R O C R=()( ) ( ) ,kkkd X st x tds? ? ??九、時(shí)域積分 1( ) ( ) ,t x d X ss???? ? ???{ R e { } 0 }R O C R s ?包 括例：求 )(ttu)(n tut 的拉氏變換 解： 0}R e {:1)}({ ?? sR OCstuL239。 1]1[)}({ssttuL ???? 0}R e {1)}({ 2 ?? sR OCsttuL ：故： 0}R e {!)}({ 1 ?? ? sR OCs ntutL nn ：推廣： asR O Cas ntuetL natn ???? ?? }R e{)( !)}({ 1 ：)(2 tut及： 339。22]1[))}(({ssttutL ?????故： 0}R e {2)}({32 ?? sstutL例： 關(guān)于一個(gè)拉氏變換為 X(s)的實(shí)信號(hào) x(t)給出下列條件： X(s)只有兩個(gè)極點(diǎn)； X(s)在有限 s平面沒(méi)有零點(diǎn)； X(s)有一個(gè)極點(diǎn)在 1+j； e2tx(t)不是絕對(duì)可積； X(0)=8 求 X(s) 解：由（ 1） ))(()()()(N)(21 pspssNsDssX????由（ 2） ))(()()()(21 pspsAsDsNsX????由（ 3） jPjP ?????? 11 2122)( 2 ??? ssAsX由（ 4） 22)2( 2 ???? ssAsX 不含 jω軸 1}R e {)2( ?sR O CsX 為：的則由（ 5)得： 16822)0( 2 ?????? Ass AX1}R e {2216)( 2 ????? ssssX1}R e {)( ?sR O CsX ：的故十、初值和終值定理 則 ( 0 ) l i m ( ) ,sx sX s? ???若 t0， x(t)=0且在 t=0不包括任何沖激或高階奇異函數(shù)，則 0l im ( ) l im ( ) ,tsx t s X s? ? ??sX(s)的收斂域一定要包含 jω軸 assX ??1)(例： as ??}R e {求該信號(hào)的終值 )(?x解：當(dāng) a0時(shí)，收斂域包括 jω，故： 0l i m)(sl i m)x(00??????? asssXss解：當(dāng) a0時(shí)，收斂域不包括 jω，故： )x(? 不存在 常用拉氏變換對(duì) ? P442表 。 用拉氏變換分析與表征 LTI系統(tǒng) 利用卷積性質(zhì)，有： ( ) ( ) ( )Y s H s X s?H(s)為 系統(tǒng)函數(shù) 或 轉(zhuǎn)移函數(shù) 。 一、因果性 一個(gè)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的 ROC是某個(gè)右半平面。 對(duì)于一個(gè)具有有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的因果性就等效于 ROC位于最右邊極點(diǎn)的右邊的右半平面。 例 有一系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為 )()( tueth t??1}R e {,11)( ???? sssH其系統(tǒng)函數(shù)和 ROC為： 系統(tǒng)函數(shù)是有理的， ROC是右半平面，所以系統(tǒng)是因果的。 例 考慮下面系統(tǒng)函數(shù) ( ) , Re { } 11seH s ss? ? ??請(qǐng)問(wèn)該系統(tǒng)是因果的嗎？ 例 有
黨政相關(guān)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1