傅里葉變換詳解(完整版)
【正文】 對于上述實數(shù)形式的傅里葉變換，我們覺得還不夠緊湊．下 面我們討論復(fù)數(shù)形式的傅氏積分與變換，而且很多情形下，復(fù)數(shù) 形式（也稱為指數(shù)形式）的傅氏積分變換使用起來更加方便． 利用 歐拉公式 則有 代入式（ ）得到 將右端的第二個積分中的 換為 ，則 上述積分能合并為 () 其中 將（ ）代入上式可以證明無論對于 ，還是 均可以 合并 為 （ ） 證明 ：（ 1） 時 （ 2） 時 證畢． （ ）是 的復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表示式 , （ ）則是 的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換式． 上述變換可以寫成另一種 對稱的傅氏變換（對）形式 （ ） 傅里葉變換式的物理意義 —— 頻譜 傅氏變換和頻譜概念有著非常密切的聯(lián)系．頻譜這個術(shù)語來 自于光學 .通過對頻譜的分析，可以了解周期函數(shù)和非周期函數(shù)的 一些基本性質(zhì) . 若已知 是以 為周期的周期函數(shù)，且滿足 狄利 克雷條件，則可展成傅里葉級數(shù) () 其中 ,我們將 稱為 的第 次 諧波 ， 稱為第 次 諧波的頻率 ． 由于 其中 稱為初相， 稱為第 次諧波的振幅，記為 ，即 （ ） 若將傅里葉級數(shù)表示為復(fù)數(shù)形式，即 () 其中 恰好是 次諧 波的振幅的一半 .我們稱 為 復(fù)振幅 .顯然 次諧波的振幅 與復(fù)振幅有下列關(guān)系： （ ） 當取 這些數(shù)值時，相應(yīng)有不同的頻率 和不同的振幅，所以式 ()描述了各次諧波的振幅隨頻率變化 的分布情況．頻譜圖通常是指頻率和振幅的關(guān)系圖 . 稱為函數(shù) 的 振幅頻譜（簡稱頻譜） . 若用橫坐標表示頻率 ，縱坐標表示振幅 ，把點 用圖形表示出來，這樣的圖 形就是頻譜圖 . 由于 ,所以頻譜 不連續(xù)的，稱之為 離散頻譜． 的圖形是 7． 3 傅里葉變換定義 傅里葉變換的定義 由上一節(jié)對實數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分的討論，最后我們以簡潔的復(fù)數(shù)形式（即指數(shù)形式）作為傅里葉變換的定義 定義 傅里葉變換 若 滿足傅氏積分定理條件， 稱表達式 （ ） 為 的 傅里葉變換式 ,記作 ．我們 稱函數(shù) 為 的傅里葉變換，簡稱
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