【正文】 字系統(tǒng) h(n)后得到輸出 y(n)=x(n)*h(n)，有時(shí) x(n)很長(zhǎng)，即長(zhǎng)序列。 所以 ， 在每個(gè)采樣點(diǎn)上 X(ejω)就精確地等于 X(k)（ 因?yàn)槠渌c(diǎn)的插值函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零 ， 沒(méi)有影響 ） ?????? ? Nkk ?? 2?????? ?? kiNii ,2 ???????? ?? Nk ?? 212 ??????? ?? Nkk ?? 各采樣點(diǎn)之間的 X(ejω)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)插值函數(shù) 在所求 ω點(diǎn)上的值的疊加得到的。 n=0,1,2} nn解： X(ej?)在頻域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列 x[n]的周期化 . IDFT{X[k]} 問(wèn)題 ： 由 X（ K）能否完整地表達(dá) X（ Z） 2. 內(nèi)插公式 101( ) ( )N knNkx n X k WN ? ??? ?1 1 10 0 01( ) ( ) ( )N N Nn k n nNn n kX Z x n z X k W zN? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?11001 ()NN k n nNknX k W zN?? ????? ??11011 ()1k N NNNkk NWzXkN W z??????????設(shè)序列 x(n)長(zhǎng)度為 M， N≥M， 則有 X（ Z）的內(nèi)插公式，它說(shuō)明已知 X（ K），可根據(jù)內(nèi)插公式求任意 Z點(diǎn)的 X（ Z）。這就是所謂的頻域采 樣定理 ~( ) ( ) ( ) ( )NNNx n x n R n x n??可看出：時(shí)域取樣時(shí)， 時(shí)域離散，頻域周期 。 X[7]=X*[97]= X*[2]= 。 則 : 二、 圓周移位性質(zhì) 其過(guò)程為 : 1. 序列的圓周移位 x(n)的圓周移位定義為 y(n)=x((n+m))N RN(n) 1)、將 x(n)以 N為周期進(jìn)行周期延拓得 x((n))N 2)、將 x((n))N左移 m位，得 x((n+m))N 3)、取其主值序列 x((n+m))N RN(n) 循環(huán)移位過(guò)程如圖所示 循環(huán)移位過(guò)程 ( e )x ( n )2 1n ＝ 0N － 1N － 2on ＝ 0N － 1N － 221n ＝ 0N － 2N － 1( f )( g )2 10x ( n )n0 n)(~nxNnxnx ))2(()2(~???0 n)())2(( nRnxNN?0 N － 1 n( a )( b )( c )( d )N － 1N － 1N － 1y(n)=x((n+m))N RN(n) 2. 時(shí)域 圓周 移位定理 NND F Tx ( n ) ( )x ( ( n + m ) ) R ( n ) ( )D F T kmNXkW X k?? ???? ???若則 ：3. 頻域循環(huán)移位定理 ( ) ( ( ) ) ( )lnN N NW x n X k l R k? ?? ??DFTy(n)也是一個(gè)長(zhǎng)度為 N的序列 ,記為 : 11201210( ) [ ( ) ( ( ) ) ] ( )[ ( ) ( ( ) ) ] ( )NNNmNNNmy n x m x n m R no r x m x n m R n?????????12( ) ( ) ( )y n x n x n??三、 圓周卷積定理 圓周卷積的定義 時(shí)域循環(huán)卷積定理 11221 2 1 2( ) ( ) 0 `1( ) ( ) 0 `1( ) ( ) ( ) ( )D F TD F TD F Tx n X K n Nx n X K k Nx n x n X K X K? ??? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ???若則 ： 頻域循環(huán)卷積定理 1 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )D F Tx n x n X k X kN? ??? ?當(dāng) N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的 n換成 N/2n可得到 ( ) ( ) , 0 12 2 2( ) ( ) , 0 12 2 2e p e pop opN N Nx n x n nN N Nx n x n n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?四、 DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性 1. 圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列 設(shè) xep(n)、 xop(n) 均為有限長(zhǎng)序列 若 xep(n)=x*ep(Nn), 0≤n≤N 1 則稱(chēng) xep(n)為 圓周共軛對(duì)稱(chēng)序列 。所以 x(n)的DFT X(K)等于它的 Z變換 X(Z)在 Z平面單位圓上 N個(gè)等分點(diǎn)上的采樣值。 這是一個(gè)很特殊的例子 ， 它表明對(duì)序列 δ(n)來(lái)說(shuō) ， 不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的 DFT， 所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列 。 MN， 將原序列裁為 N點(diǎn)計(jì)算 N點(diǎn)的 DFT； MN， 將原序列補(bǔ)零至 N點(diǎn) ， 然后計(jì)算 N點(diǎn) DFT。確定 DFT在奇數(shù)點(diǎn)的值。 說(shuō)明： xN(n)為原序列 x (n)以 N為周期 周期延拓后的主值序列。記 X(ej?)在 {?=2? k/3。 因而 ， 插值函數(shù) Φk(z)只在本身采樣點(diǎn) r=k處不為零 ， 在其他（ N1） 個(gè)采樣點(diǎn) r上 （ r=0, 1, …, N1， 但 r≠k） 都是零點(diǎn) （ 有 （ N1）個(gè)零點(diǎn) ） 。 ( ) [ ( ) ]( ) [ ( ) ]X k D F T x nH k D F T h n??若 則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 Yc(k)=DFT［ yc(n) ］ =X (k)H(k) 1010( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )LcLmqLLqmy n h m x n m q L R nh m x n m q L R n??? ? ? ???? ? ? ?? ? ?? ? ?????循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )01LLLmcy n x n h n h m x n m R nnL??? ? ? ?? ? ??( ( ) ) ( ) ,Lqx n x n q L?? ? ????()ly n qL?10( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )Nlmc l Lqh m x n q L m y n q Ly n y n q L R n???? ? ?? ? ? ?????所以 ,循環(huán)卷積 yc(n)等于線性卷積 yl(n)以 L為周期的周期延拓序列的主值序列 , 因?yàn)?yl(n)的長(zhǎng)度為 N1+N21, 因此只有L≥ N1+N21時(shí)， yl(n)以 L為周期進(jìn)行周期延拓才不會(huì)產(chǎn)生混疊， yc(n)= yl(n) 將 x(n)、 h(n)的長(zhǎng)度都變?yōu)?N1+N21, 則： 11 1 2( ) 0 139。 F愈小，頻率分辨率愈高。如對(duì)抽樣信號(hào)做 N=1600點(diǎn)的 DFT，試確定 X[k]中 k=600和k=1200點(diǎn)所分別對(duì)應(yīng)原連續(xù)信號(hào)的連續(xù)頻譜點(diǎn) f1 和 f2 (kHz)。20 39。)kN jnNmnkX x n em?? ??? ?11 2200( ) ( ) ( )kkmm j r j rmmMrrkkX k X e X emm???? ????????而 1 20/0/km jrmrm k mekm?? ???? ???為 整 數(shù)不 為 整 數(shù)( ) /()0/Mkm X k mXk mkm??? ???為 整 數(shù)不 為 整 數(shù)如： x(n)=cos(nπ/6) 0 1 2 11x ( n )n 0 1X ( k )11 nN=12時(shí)的 DFT N=24時(shí)的 DFT 6N=16時(shí)的 DFT 快速傅里葉變換 (FFT) 頻譜分析在數(shù)字信號(hào)處理中用途廣泛：如通過(guò)語(yǔ)言信號(hào)的頻譜分析實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音通訊的頻帶壓縮、聲納信號(hào)的頻譜分析用以區(qū)分水面與水下目標(biāo)、在各種測(cè)量?jī)x器中，頻譜分析用得更多，這些都需要 DFT運(yùn)算。 基 2時(shí) 域 抽取 (Decimation in time)FFT算法 基 2頻率抽取 (Decimation in frequency)FFT算法 12,1,0]12[ ]2[][ ???????Nrrxrxkx ?nr r k 1 基 2時(shí)域抽取 FFT算法（ DITFFT） 設(shè)： x(n)為一長(zhǎng)度為 N的序列。如圖所示： 可看出第 m1級(jí)的兩節(jié)點(diǎn) xm1(p), xm1(q) ，經(jīng)蝶算后，在 m級(jí)中的節(jié)點(diǎn)序號(hào)是不變的，即 xm(p), xm(q) 。 對(duì)偶節(jié)點(diǎn)的間距可用下式確定： m為該級(jí)的序號(hào) r可由下式確定： 若 ,則數(shù)據(jù)不必交換。 兩邊再同時(shí)取共軛，得 ? ?1011( ) [ ( ) ]。 為了避免重復(fù)對(duì)調(diào)，需要檢查 是否小于 n，若 n ,說(shuō)明x(n)已與 x( )調(diào)換過(guò)。即 xm(p), xm(q) 只與 xm1(p), xm1(q)有關(guān)，而與其它節(jié)點(diǎn)值無(wú)關(guān)，同時(shí) xm1(p), xm1(q)也不再參加其它的蝶算。 由于 X1(k)和 X2(k)均以 N/2為周期，且 ， 而 X(k)為 N點(diǎn) 所以： / 2 11 1 / 2 10/ 2 12 2 / 2 20( ) ( ) [ ( ) ]( ) ( ) [ ( ) ] 0 , , / 2 1NkrNrNkrNrX k x r W D F T x rX k x r W D F T x r k N??????? ? ? ???2Nk kNNWW? ??/21212( / 2 ) ( / 2 ) ( / 2 )( ) ( )kNNkNX k N X k N W X k NX k W X k?? ? ? ? ???其中 X1(k)和 X2(k)分別為 x1(r)和 x2(r)的 N/2點(diǎn) DFT，即 用信號(hào)流圖表示： 1212( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 12( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 122kNkNNX k X k W X k kNNX k X k W X k k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?X(k)可表示為 )(1 kX)(2 kXkNW)()( 21 kXWkX kN?)()( 21 kXWkX kN?蝶形運(yùn)算流圖符號(hào) ∵ 呈蝶形， ∴ 稱(chēng)為 蝶形計(jì)算結(jié)構(gòu) ，是 FFT運(yùn)算中的一個(gè)基本單元 N /2 點(diǎn)D F TW N0N /2 點(diǎn)D F TW N1W N2W N3x ( 0 )X1( 0 )x ( 2 )x ( 4 )x ( 6 )x ( 1 )x ( 3 )x ( 5 )x ( 7 )X1( 1 )X1( 2 )X1( 3 )X2( 0 )X2( 1 )X2( 2 )X2( 3 )X ( 0 )X ( 1 )X ( 2 )X ( 3 )X ( 4 )X ( 5 )X ( 6 )X ( 7 )可將上述分解過(guò)程用計(jì)算流圖來(lái)表示。 直接計(jì)算 DFT的特點(diǎn) 設(shè) x(n)長(zhǎng)度為 N，其 DFT為： X(K),長(zhǎng)度也為 N 1010( ) ( ) , 0 , 1 , , 11( ) ( ) , 0 , 1 , , 1NknNnNknNkX k x n W k Nx n X k W n NN?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???一、 DFT運(yùn)算的特點(diǎn) 可看出正、反變換形