【正文】 XXXjXXXkjkx n kx n kNkk? ???? ???? ???? ???? ???? ????( ) ( ) ( ) ( ) ( )opr e pix n x n j x n x n x n? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )e p o pRIX K X k j X k X k X k? ? ? ?則 : DFT的共軛對(duì)稱性 如果 即 XR(k)= XR(Nk) XI(k)= XI(Nk) | ( ) | | ( ) |X K X N K??a r g { ( ) } a r g { ( ) }X k X N k? ? ?即 X(k)的幅頻特性是偶對(duì)稱的，相頻特性是奇對(duì)稱的 若 x(n)是長度為 N的實(shí)序列，且 X(k)=DFT［ x(n)］ ,則 (1) X(k)圓周共軛對(duì)稱 X(k)=X*(Nk), 0≤k≤N 1 利用 DFT的共軛對(duì)稱性，還可通過計(jì)算一個(gè) N點(diǎn)DFT，得到兩個(gè)不同實(shí)序列的 N點(diǎn) DFT， 對(duì)于實(shí)序列，計(jì)算 N點(diǎn) DFT 若 N=偶，則只要計(jì)算 前 N/2+1點(diǎn) 的 DFT，其它點(diǎn)由 X(k)=X*(Nk)可得到 若 N=奇，則只要計(jì)算 前（ N+1） /2點(diǎn) 的 DFT即可。 所以 X1(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］ =j1/2［ X(k)X*(Nk)］ 設(shè) x1(n)和 x2(n)為兩個(gè) N點(diǎn)的實(shí)序列 ,構(gòu)成新序列 x(n): x(n)= x1(n)+ jx2(n) 對(duì) x(n)進(jìn)行 DFT X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k) Xep(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk) Xop(k)=DFT［ jx2(n)］ =1/2［ X(k)X*(Nk) ］ 例： 已知一 9點(diǎn)實(shí)序列的 DFT在偶數(shù)點(diǎn)的值為 X[0]=, X[2]=+, X[4]=+, X[6]=+, X[8]=。確定 DFT在奇數(shù)點(diǎn)的值。 解： X[1]=X*[91]= X*[8]= +。 X[3]=X*[93]= X*[6]= ； X[5]=X*[95]= X*[4]= 。 X[7]=X*[97]= X*[2]= 。 根據(jù)實(shí)序列 DFT的對(duì)稱特性 X[k]=X *[Nk] 可得 可見，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率為 qω0時(shí)， X(K)的 N個(gè)值中只有X（ q） =N，其余皆為零，如果輸入信號(hào)為若干個(gè)不同頻率的信號(hào)的組合，經(jīng)離散付里葉變換后，不同的 k上， X（ k）將有一一對(duì)應(yīng)的輸出，因此，離散付里葉變換實(shí)質(zhì)上對(duì)頻率具有選擇性。 選頻性 設(shè)有復(fù)序列 x(n): 0≤n≤N1 其離散付里葉變換為 其中 q為整數(shù)。當(dāng) ω0=2π/N時(shí) ∴ 對(duì) X（ k）求 IDFT，得 xN(n)=IDFT［ X(k)］ ( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ?22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jkNkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??問題 :由頻域離散采樣能否恢復(fù)原來的信號(hào) ,其條件是什么 ? 頻率域采樣 1. 頻率域采樣定理 設(shè)：任意序列 x(n)的 Z變換為： 設(shè) X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。 對(duì) X（ Z）在單位圓上等間隔采樣 N點(diǎn)，則得： ~~( ) ( )( ) ( )D F SD F TNNx n X kx n X k? ???? ???1~~0101( ) ( ( ) ) ( )1()NknN N NkNknNkNx n x n X k WNX k WN???????????因?yàn)?X(k)是 xN(n)以 N為周期 周期延拓后序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的主值序列， 即 ~ ()Xk將式 ()代入上式得 ~ ()Nxn22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jk Nkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??求 xN(n)與 x (n)之間的關(guān)系。 說明： xN(n)為原序列 x (n)以 N為周期 周期延拓后的主值序列。 1()01,10Nk m nNkm n rN rWN?????????? 為 整 數(shù)其 它~~( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rN N NrNNx n x n rNx n x n R n x n rN R n?? ? ??? ? ???? ? ???1~01()01( ) [ ( ) ]1()Nk m k nNNkmNk m nNmkNx n x m W WNx m WN???? ? ? ????? ? ? ???????式中 所以，若 x (n)為 M長，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥ M時(shí)，才有 即可由頻域采樣 X（ K）恢復(fù)原序列 x (n)。否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采 樣定理 ~( ) ( ) ( ) ( )NNNx n x n R n x n??可看出：時(shí)域取樣時(shí)， 時(shí)域離散，頻域周期 。 同樣，頻域取樣時(shí)， 頻域離散，時(shí)域周期 。 時(shí)域抽樣定理 和 頻域抽樣定理 為利用數(shù)字化方式 分析和處理信號(hào)奠定了理論基礎(chǔ)。 例：已知序列 對(duì) x(n)的 Z變換 X(z)在單位圓上等間隔采樣 N點(diǎn)，采樣值為： 求有限長序列 IDFT[X(k)] 解： ( ) ( ) , 0 1nx n a u n a? 2( ) ( ) | 0 , 1 , 1jkNkzeX k X z kN??? ??00( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1()1NNrn rNNrn rN n rNNNrrnNNx n x n rN R na u n rN R na R n a a R na R na?? ? ???? ? ??????????????????例：設(shè)序列 x(n)={8,7,6,5,4,3,2,1},現(xiàn)對(duì) x(n)的 DTFT 在一個(gè)周期內(nèi)作 N=6點(diǎn)的均勻抽樣 ,得 XN(K)。求 XN(K)的IDFTxN(n) ()jwXe( ) ( ) ( )NNrx n x n r N R n?? ? ????( ) { 1 0 , 8 , 6 , 5 , 4 , 3 }Nxn??例： 已知有限序列 x[n]={1,1, 4, 3； n= 0,1,2,3}，序列 x[n]的DTFT為 X(ej?)。記 X(ej?)在 {?=2? k/3。k=0,1,2}的取樣值為 X[k]，求 IDFT{X[k]} 。 =(x[n]+x[n+3])R3(n) ={2, 1, 4。 n=0,1,2} nn解： X(ej?)在頻域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列 x[n]的周期化 . IDFT{X[k]} 問題 ： 由 X（ K）能否完整地表達(dá) X（ Z） 2. 內(nèi)插公式 101( ) ( )N knNkx n X k WN ? ??? ?1 1 10 0 01( ) ( ) ( )N N Nn k n nNn n kX Z x n z X k W zN? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?11001 ()NN k n nNknX k W zN?? ????? ??11011 ()1k N NNNkk NWzXkN W z??????????設(shè)序列 x(n)長度為 M， N≥M， 則有 X（ Z）的內(nèi)插公式，它說明已知 X（ K），可根據(jù)內(nèi)插公式求任意 Z點(diǎn)的 X（ Z）。所以 X（ Z）的 N個(gè)取樣值 X(K），包含了 X（ Z）的全部信息。 令： 11011()1( ) ( ) ( )Nk kNNkkzzN W zX z X k z??????????? ?內(nèi)插函數(shù) 2110111( ) ( )1j k NkN NNNNkk NWezX z X kN W z???????????????1111)(???????zWzNz kNNk稱為內(nèi)插函數(shù)。令其分子為零，得 2jN rrze?? r=0, 1, …, k, …, N1 即內(nèi)插函數(shù)在單位圓的 N等分點(diǎn)上 （ 也即采樣點(diǎn)上 ） 有 N個(gè)零點(diǎn) 。 而分母為零 ， 則有 z=WNk= 的一個(gè)極點(diǎn) ， 它將和第 k個(gè)零點(diǎn)相抵消 。 因而 ， 插值函數(shù) Φk(z)只在本身采樣點(diǎn) r=k處不為零 ， 在其他（ N1） 個(gè)采樣點(diǎn) r上 （ r=0, 1, …, N1， 但 r≠k） 都是零點(diǎn) （ 有 （ N1）個(gè)零點(diǎn) ） 。 而它在 z=0 處還有 （ N1） 階極點(diǎn) . kNje ?210( ) ( ) ( )NkkX z X k z???? ?進(jìn)一步化簡可得 101()22( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )NjkNjX e X k kNNeN????????????????當(dāng) z=ejω時(shí) ( 2 / )1011()1( ) ( ) ( )jNk j k NNjkkeNeX e X k????????????????? ?內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性 (N=5) 當(dāng)變量 ω=0 時(shí) ， Φ(ω)=1， 當(dāng) （ i=1, 2, …, N1)時(shí) ， Φ(ω)=0。 因而可知 ， 滿足以下關(guān)系： Ni?? 2??????? ?? Nk ?? 2?????????????????????kiNiNkNkik,20212???????? 也就是說 ， 函數(shù) 在本采樣點(diǎn) , , 而在其他采樣點(diǎn) 上 ， 函數(shù) 整個(gè) X(ejω)就是 由 N個(gè) 函數(shù)分別乘上 X(k)后求和 。 所以 ， 在每個(gè)采樣點(diǎn)上 X(ejω)就精確地等于 X(k)（ 因?yàn)槠渌c(diǎn)的插值函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零 ， 沒有影響 ） ?????? ? Nkk ?? 2?????? ?? kiNii ,2 ???????? ?? Nk ?? 212 ??????? ?? Nkk ?? 各采樣點(diǎn)之間的 X(ejω)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)插值函數(shù) 在所求 ω點(diǎn)上的值的疊加得到的。 ?????? ?????? ?? kNkX ?? 2)( 實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)是求解線性卷積，如信號(hào) x（ n）通過系統(tǒng) h（ n），其輸出就是線性卷積 y（ n） =x（ n） *h（ n）。 圓周卷積 DFT 乘積 線性卷積 FT 乘積 而 圓周卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可