【正文】 XXXjXXXkjkx n kx n kNkk? ???? ???? ???? ???? ???? ????( ) ( ) ( ) ( ) ( )opr e pix n x n j x n x n x n? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )e p o pRIX K X k j X k X k X k? ? ? ?則 : DFT的共軛對稱性 如果 即 XR(k)= XR(Nk) XI(k)= XI(Nk) | ( ) | | ( ) |X K X N K??a r g { ( ) } a r g { ( ) }X k X N k? ? ?即 X(k)的幅頻特性是偶對稱的，相頻特性是奇對稱的 若 x(n)是長度為 N的實序列，且 X(k)=DFT［ x(n)］ ,則 (1) X(k)圓周共軛對稱 X(k)=X*(Nk), 0≤k≤N 1 利用 DFT的共軛對稱性，還可通過計算一個 N點DFT，得到兩個不同實序列的 N點 DFT， 對于實序列，計算 N點 DFT 若 N=偶，則只要計算 前 N/2+1點 的 DFT，其它點由 X(k)=X*(Nk)可得到 若 N=奇，則只要計算 前（ N+1） /2點 的 DFT即可。 所以 X1(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］ =j1/2［ X(k)X*(Nk)］ 設 x1(n)和 x2(n)為兩個 N點的實序列 ,構成新序列 x(n): x(n)= x1(n)+ jx2(n) 對 x(n)進行 DFT X(k)=DFT［ x(n)］ =Xep(k)+Xop(k) Xep(k)=DFT［ x1(n)］ =1/2［ X(k)+X*(Nk) Xop(k)=DFT［ jx2(n)］ =1/2［ X(k)X*(Nk) ］ 例： 已知一 9點實序列的 DFT在偶數(shù)點的值為 X[0]=, X[2]=+, X[4]=+, X[6]=+, X[8]=。確定 DFT在奇數(shù)點的值。 解： X[1]=X*[91]= X*[8]= +。 X[3]=X*[93]= X*[6]= ； X[5]=X*[95]= X*[4]= 。 X[7]=X*[97]= X*[2]= 。 根據(jù)實序列 DFT的對稱特性 X[k]=X *[Nk] 可得 可見，當輸入信號的頻率為 qω0時， X(K)的 N個值中只有X（ q） =N，其余皆為零，如果輸入信號為若干個不同頻率的信號的組合，經(jīng)離散付里葉變換后，不同的 k上， X（ k）將有一一對應的輸出，因此，離散付里葉變換實質(zhì)上對頻率具有選擇性。 選頻性 設有復序列 x(n): 0≤n≤N1 其離散付里葉變換為 其中 q為整數(shù)。當 ω0=2π/N時 ∴ 對 X（ k）求 IDFT，得 xN(n)=IDFT［ X(k)］ ( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ?22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jkNkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??問題 :由頻域離散采樣能否恢復原來的信號 ,其條件是什么 ? 頻率域采樣 1. 頻率域采樣定理 設：任意序列 x(n)的 Z變換為： 設 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。 對 X（ Z）在單位圓上等間隔采樣 N點，則得： ~~( ) ( )( ) ( )D F SD F TNNx n X kx n X k? ???? ???1~~0101( ) ( ( ) ) ( )1()NknN N NkNknNkNx n x n X k WNX k WN???????????因為 X(k)是 xN(n)以 N為周期 周期延拓后序列 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列， 即 ~ ()Xk將式 ()代入上式得 ~ ()Nxn22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jk Nkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??求 xN(n)與 x (n)之間的關系。 說明： xN(n)為原序列 x (n)以 N為周期 周期延拓后的主值序列。 1()01,10Nk m nNkm n rN rWN?????????? 為 整 數(shù)其 它~~( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rN N NrNNx n x n rNx n x n R n x n rN R n?? ? ??? ? ???? ? ???1~01()01( ) [ ( ) ]1()Nk m k nNNkmNk m nNmkNx n x m W WNx m WN???? ? ? ????? ? ? ???????式中 所以，若 x (n)為 M長，則只有當頻域采樣點數(shù) N≥ M時，才有 即可由頻域采樣 X（ K）恢復原序列 x (n)。否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采 樣定理 ~( ) ( ) ( ) ( )NNNx n x n R n x n??可看出：時域取樣時， 時域離散，頻域周期 。 同樣，頻域取樣時， 頻域離散，時域周期 。 時域抽樣定理 和 頻域抽樣定理 為利用數(shù)字化方式 分析和處理信號奠定了理論基礎。 例：已知序列 對 x(n)的 Z變換 X(z)在單位圓上等間隔采樣 N點，采樣值為： 求有限長序列 IDFT[X(k)] 解： ( ) ( ) , 0 1nx n a u n a? 2( ) ( ) | 0 , 1 , 1jkNkzeX k X z kN??? ??00( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1()1NNrn rNNrn rN n rNNNrrnNNx n x n rN R na u n rN R na R n a a R na R na?? ? ???? ? ??????????????????例：設序列 x(n)={8,7,6,5,4,3,2,1},現(xiàn)對 x(n)的 DTFT 在一個周期內(nèi)作 N=6點的均勻抽樣 ,得 XN(K)。求 XN(K)的IDFTxN(n) ()jwXe( ) ( ) ( )NNrx n x n r N R n?? ? ????( ) { 1 0 , 8 , 6 , 5 , 4 , 3 }Nxn??例： 已知有限序列 x[n]={1,1, 4, 3； n= 0,1,2,3}，序列 x[n]的DTFT為 X(ej?)。記 X(ej?)在 {?=2? k/3。k=0,1,2}的取樣值為 X[k]，求 IDFT{X[k]} 。 =(x[n]+x[n+3])R3(n) ={2, 1, 4。 n=0,1,2} nn解： X(ej?)在頻域的離散化導致對應的時域序列 x[n]的周期化 . IDFT{X[k]} 問題 ： 由 X（ K）能否完整地表達 X（ Z） 2. 內(nèi)插公式 101( ) ( )N knNkx n X k WN ? ??? ?1 1 10 0 01( ) ( ) ( )N N Nn k n nNn n kX Z x n z X k W zN? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?11001 ()NN k n nNknX k W zN?? ????? ??11011 ()1k N NNNkk NWzXkN W z??????????設序列 x(n)長度為 M， N≥M， 則有 X（ Z）的內(nèi)插公式，它說明已知 X（ K），可根據(jù)內(nèi)插公式求任意 Z點的 X（ Z）。所以 X（ Z）的 N個取樣值 X(K），包含了 X（ Z）的全部信息。 令： 11011()1( ) ( ) ( )Nk kNNkkzzN W zX z X k z??????????? ?內(nèi)插函數(shù) 2110111( ) ( )1j k NkN NNNNkk NWezX z X kN W z???????????????1111)(???????zWzNz kNNk稱為內(nèi)插函數(shù)。令其分子為零，得 2jN rrze?? r=0, 1, …, k, …, N1 即內(nèi)插函數(shù)在單位圓的 N等分點上 （ 也即采樣點上 ） 有 N個零點 。 而分母為零 ， 則有 z=WNk= 的一個極點 ， 它將和第 k個零點相抵消 。 因而 ， 插值函數(shù) Φk(z)只在本身采樣點 r=k處不為零 ， 在其他（ N1） 個采樣點 r上 （ r=0, 1, …, N1， 但 r≠k） 都是零點 （ 有 （ N1）個零點 ） 。 而它在 z=0 處還有 （ N1） 階極點 . kNje ?210( ) ( ) ( )NkkX z X k z???? ?進一步化簡可得 101()22( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )NjkNjX e X k kNNeN????????????????當 z=ejω時 ( 2 / )1011()1( ) ( ) ( )jNk j k NNjkkeNeX e X k????????????????? ?內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性 (N=5) 當變量 ω=0 時 ， Φ(ω)=1， 當 （ i=1, 2, …, N1)時 ， Φ(ω)=0。 因而可知 ， 滿足以下關系： Ni?? 2??????? ?? Nk ?? 2?????????????????????kiNiNkNkik,20212???????? 也就是說 ， 函數(shù) 在本采樣點 , , 而在其他采樣點 上 ， 函數(shù) 整個 X(ejω)就是 由 N個 函數(shù)分別乘上 X(k)后求和 。 所以 ， 在每個采樣點上 X(ejω)就精確地等于 X(k)（ 因為其他點的插值函數(shù)在這一點上的值為零 ， 沒有影響 ） ?????? ? Nkk ?? 2?????? ?? kiNii ,2 ???????? ?? Nk ?? 212 ??????? ?? Nkk ?? 各采樣點之間的 X(ejω)值由各采樣點的加權插值函數(shù) 在所求 ω點上的值的疊加得到的。 ?????? ?????? ?? kNkX ?? 2)( 實際應用中，大多數(shù)是求解線性卷積，如信號 x（ n）通過系統(tǒng) h（ n），其輸出就是線性卷積 y（ n） =x（ n） *h（ n）。 圓周卷積 DFT 乘積 線性卷積 FT 乘積 而 圓周卷積比起線性卷積，在運算速度上有很大的優(yōu)越性，它可