【正文】 x FB 00 ?? Mx ，0, ?? Mlx令 ()? ?? 02d d qlx qxMx得駐點(diǎn) 2lx ?彎矩的極值 822m a xqlMM lx ?? ?繪出彎矩圖 + 82qll/2 由圖可見(jiàn)，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大 但此截面上 Q= 0 兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對(duì)值為最大 l q FA A B x FB + ql/2 ql/2 + 82qll/2 82m axqlM ?m a x 2qlQ ?解 : （ 1）求梁的支反力 例題 7 圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受集中荷載 F 作用 (b a) 試作此梁的剪力圖和彎矩圖 . l F A B C a b FA FB AFbFl? BFaFl? 因?yàn)?AC段和 CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程 . 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 AC段 CB段 x x l F A B C a b FA FB ( ) ( 0 ) ( 1 )( ) ( 0 ) ( 2)FbQ x x alFbM x x x al? ? ?? ? ?()( ) ( ) ( 3 )( ) ( ) ( ) ( ) ( 4)F b F l b F aQ x F a x ll l lF b F aM x x F x a l x a x lll?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 由（ 1） ,（ 3）兩式可知， AC、 CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于 x 軸的直線 . ( ) (0 ) ( 1 )FbQ x x al? ? ?( ) ( ) ( 3 )FaQ x a x ll? ? ? ?x x l F A B C a b FA FB )4()()()( lxaxllFaxM ????)2()0()( axxlFbxM ??? 由（ 2），（ 4）式可知， AC、 CB 兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線 . lFblFa+ x x l F A B C a b FA FB + lFbalFblFa+ 在集中荷載作用處的左 ,右兩側(cè)截面上剪力值 (圖 )有突變 ,突變值等于集中荷載F. 彎矩圖形成尖角 ,該處彎矩值最大 . Qmax=Fb/l Mmax=Fba/l x = 0 ， 0?MAC段 x = a ， ?C FabM lx= l ， M = 0 x = a , ?C FbaM lCB段 FaM ( x ) ( l x ) ( a x l )l? ? ? ?0FbM ( x ) x ( x a )l? ? ?解：求梁的支反力 例題 8 圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受矩為 M的集中力偶作用 .試作此梁的的剪力圖和彎矩圖 . ?A MF l ??B MF l將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 . 因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以 全梁只有一個(gè)剪力方程 ( ) ( ) ( )Q ? ? ?01Mx x lll A B C a b FA FB M 由 (1)式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于 x 軸的直線 . + MlAC段 CB段 AC 段和 BC 段的彎矩方程不同 x x l A B C a b FA FB M () ? MM x xl )0( ax ??( ) ( )? ? ? ? ?MMM x x M l xll )( lxa ??AC， CB 兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線 . x = a ， ?C MaM l左 x = 0 ， 0?MAC段 CB段 x = a , ??C MbM l右x= l ， M = 0 + MalMbl 梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值 (圖 )發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值 .此處剪力圖沒(méi)有變化 . l A B C a b FA FB M + /Ml+ MalMbl 、集中力偶作用處、分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處 ,及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段 .分段寫出剪力方程和彎矩方程 ,然后繪出剪力圖和彎矩圖。 ， x 軸向右為正 建立 坐標(biāo)。 Qmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處 。梁上的 Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面 ,或 集中力偶作用處及 Q = 0 的截面處。 小 結(jié) 、右兩側(cè)橫截面上 ,剪力（圖）有突變 ,突變值等于集中力的數(shù)值， 在此處 彎矩圖則形成一個(gè)尖角。 、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變 ,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值 .但在此處剪力圖沒(méi)有變化。 平衡方程求約束反力。 例題 9 一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載 F 的作用如圖所示 .試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載 F 的位置 . A B F l x 解 :先設(shè) F 在距左支座 A 為 x 的任意位置 .求此情況下梁的最大彎矩為極大 . 荷載在任意位置時(shí)，支反力為 ()AF l xFl??BFxFl?當(dāng)荷載 F 在距左支座為 x 的任意位置 C 時(shí)，梁的彎矩為 ()CAF l xM F x xl???令 0dd ?xM C 0)2( ??? xllF2lx ?此結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)移動(dòng)荷載 F 在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大 . 得最大彎矩值 代入式 將 2lx ?()CAF l xM F x xl???FlM 41m ax ? 設(shè)梁上作用有任意分布荷載 其集度 六、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系 (Differential relationships between load,shear force,and bending moment) q = q (x) 規(guī)定 q (x)向上為正 . 將 x 軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 . x y q(x) F M 、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系的推導(dǎo) x y q(x) F M Q(x) M(x) Q (x)+dQ(x) M(x)+dM(x) 假想地用坐標(biāo)為 x 和 x+dx的兩橫截面 mm和 nn從梁中取出 dx 微段 . m m n n q(x) C x+dx 截面處 則分別為 Q(x)+dQ(x) ， M(x)+dM(x) . 由于 dx很小，略去 q(x) 沿 dx的變化 。 mm截面上內(nèi)力為 Q(x) ,M(x) n x m m n dx 0 d[ ( ) d ( ) ] ( ) ( ) d ( ) d 02CMxM x M x M x Q x x q x x?? ? ? ? ??Q(x) M(x) Q(x)+dQ(x) M(x)+dM(x) m m n n q(x) C 寫出微段梁的平衡方程 0 ( ) [ ( ) d ( ) ] ( ) d 0yF Q x Q x Q x q x x? ? ? ? ??得到 d ( ) ()dQx qxx ?略去二階無(wú)窮小量即得 d ( ) ()dMx Qxx ?對(duì)上式求導(dǎo)： 22d d ( ) d ( ) d ( )( ) ( )d d d dM x Q x M xqxx x x x? ? ?公式的幾何意義 （ 1）剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小 。 （ 2）彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小 。 d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) d d ( )( ) ( )d d dM x M x qxx x x??（ 3）彎矩圖斜率的變化率等于點(diǎn)處荷載集度的大小。（根據(jù) q(x)＞ 0或 q(x) ＜ 0來(lái)判斷彎矩圖的凹凸性） . M(x)圖為一向上凸的二次拋物線 . Q(x)圖為一向右下方傾斜的直線 . x Q(x) O (x)、 Q(x)圖、 M（ x） 圖三者間的關(guān)系 Ⅰ .梁上有向下的均布荷載 ,即 q(x)=const 0 M(x) d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) ()dMx qxx ?Ⅱ .梁上無(wú)荷載區(qū)段， q(x) = 0 剪力圖為一條水平直線 . 彎矩圖為一斜直線 . 當(dāng) Q(x) 0 時(shí) ,向右上方傾斜 . 當(dāng) Q(x) 0 時(shí) ,向右下方傾斜 . x O M(x) O M(x) x d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) ()dMx qxx ?x Q(x) O Ⅴ. 梁上 最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè) ?；蚍植驾d荷發(fā)生變化的區(qū)段上 . 梁上最大彎矩 Mmax可能發(fā)生在 Q(x) = 0 的截面上 。 或發(fā)生在集中力所在的截面上 ?；蚣辛ε甲饔锰幍囊粋?cè) . Ⅲ. 在集中力作用處剪力圖有突變 ,其突變值等于集中力的值 .彎矩圖有轉(zhuǎn)折 . Ⅳ. 在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突 變值等于集中力偶的值，但剪力圖無(wú)變化 . d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) ()dMx qxx ?無(wú)荷載 集中力 F C 集中力偶 M C 向下傾斜的直線 上凸的二次拋物線 在 Q=0的截面 水平直線 一般斜直線 或 在 C處有轉(zhuǎn)折 在剪力突變的截面 在緊靠 C的某一側(cè)截面 一段梁上的外力情況 剪力圖 的特征 彎矩圖 的特征 Mmax所在 截面的可 能位置 表 41 在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征 q0 向下的均布荷載 在 C處有突變 在 C處有突變 M 在 C處無(wú)變化 C 、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系 若在 x=x1 和 x= x2 處兩個(gè)橫截面無(wú)集中力（即剪力方程為連續(xù)的）， 則 d ( ) ()dQx qxx ?( ) ( )Q ???2211ddxx x q x x( ) ( ) ( ) ?? ? 2121 dxxx x q x x式中， 分別為在 x=x1 和 x= x2 處兩個(gè)橫截面上的剪力 . 12( ) ( )Q x Q x等號(hào)右邊積分的幾何意義是 x1 , x2兩橫截面間分布荷載圖的面積 . d ( ) ()dMx Qxx ?若橫截面 x= x1， x=x2 間無(wú)集中力偶作用 （即彎矩方程為連續(xù)的）， 則得 ()( ) ( ) Q?? ? 2121dxx xxM x M x式中 M(x1)， M(x2)分別為在 x=x1 和 x=x2處兩個(gè)橫截面上的彎矩 . 等號(hào)右邊積分的幾何意義是 x1 , x2兩個(gè)橫截面間剪力圖的面積 . 例題 10 一簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)力 F作用 ,如圖所示 .已知 F= , 有關(guān)尺寸如圖所示 .試用本節(jié)所述的微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖 . 解：（ 1）求梁的支反力 2 3 6 k ΝAF.?27 kNBF ? 將梁分為 AC、 CD、 DB 三段 . 每一段均屬無(wú)載荷區(qū)段 . B A C D 200 115 1265 F F FA FB 2 3 1 （ 2）剪力圖 每段梁的剪力圖均為水平直線 AC段 23 .6 kNAAQF??右 27 + B FB A C D 200 115 1265 F F FA 2 3 1 DB段 2 7 k NBDQF? ? ? ?右最大剪力發(fā)生在 DB段中的任一橫截面上 m a x 2 7 k NQ ?CD段 kNACQ F F? ? ? ?右AC段 23 .6 kNAAQF??右+ B A C D 200 115 1265 F F FA FB 2 3 1 0 . 1 1 5 3 . 1 1 k N mD BFM ? ? ? ?0?M B最大彎矩發(fā)生在 C 截面 a x ??M0 . 2 4 . 7 2k N mC AFM ? ? ? ?0?M A（ 3）彎矩圖