【正文】 q(x) F1 F2 （ 2）分析方法 (Analysis method) （ a） 用橫截面 mm , nn從梁中截取 dx一段 .兩橫截面上的彎矩不等 . 所以?xún)山孛嫱?y處的正應(yīng)力也不等； （ b） 假想地從梁段上截出體積元素 mB1，在兩端面 mA1， nB1上兩個(gè)法向 內(nèi)力不等 . q(x) F1 F2 m m n n x dx m n n m x y z O b dx m’ m’ h y A B A1 B1 A B B1 A1 m n x z y y m? FN2 FN1 m n n m x y z O y A B A1 B1 b dx m’ m’ h n τ τ’ （ c）在縱截面上必有沿 x 方向的切向內(nèi)力 dQ′.故在此面上就有切應(yīng)力 τ. 根據(jù)假設(shè)，橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)的各點(diǎn)處切應(yīng)力大小相等 . 各點(diǎn)的切應(yīng)力方向均與截面?zhèn)冗吰叫?.取分離體的平衡即可求出 . A B B1 A1 m n x z y y FN1 FN2 dQ’ m? A B B1 A1 m n x z y y m’ FN1 FN2 dQ’ （ 3）公式推導(dǎo) (Derivation of the formula) 假設(shè) mm， nn上的彎矩為 M和 M+dM，兩截面上距中性軸 y1 處的正應(yīng)力為 ?1 和 ?2. A1為距中性軸為 y的橫線以外部分的橫截面面積 . ?? 1 d11N A AσFAyIMAIMyAzA zdd1111 ?? ????zzSIM???? ?zzASI MMAσF dd122N式中： 為面積 A1對(duì)中性軸的靜矩 . ???1d1Az AySAd1?化簡(jiǎn)后得 ??zzSIMF 1N???zzSI MMF d2NddQ b x????由平衡方程 0?? xF 39。k39。上各點(diǎn)處的切應(yīng)力 均匯交于 O39。 根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向 ， 可以判斷： 1點(diǎn)受拉應(yīng)力 ， 2點(diǎn)受壓應(yīng)力 。 剪力 對(duì)所考慮的一端曲桿內(nèi)一點(diǎn)取矩 產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正 。m ( ) Me 在 A處有集中力偶 (2)作荷載圖 0?M A 左 mkN40 ??右AM40KN (1) 剪力圖 AE段 水平直線 QA右 = QE左 = FA = 81kN ED 段 水平直線 DK 段 向右下方傾斜的直線 QK= FB = 29kN QE右 = FA F = 31kN KB 段 水平直線 QB左 = FB = 29 kN 81kN 31kN 29kN + 1 1 1 3 F=50kN M=5kN 或發(fā)生在集中力所在的截面上 。 、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變 ,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值 .但在此處剪力圖沒(méi)有變化。（稱(chēng)之為簡(jiǎn)便法） A E c QE FA ME E AFcM ??0 , 0EE AFcMM? ? ? ??例題 3 軸的計(jì)例算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm， b = 100 mm 和 c = 1000 mm. 求 C 、 D 點(diǎn)處橫截面 上的剪力和彎矩 . F2=F A C D B b a c F1=F FA FB 解： （ 1）求支座反力 6 0 k NABFFF? ? ?（ 2）計(jì)算 C 橫截面上的剪力 QC和彎矩 MC 看左側(cè) F2=F A C D B b a c F1=F FA FB 1 6 0 k NCQF? ? ? ?mkN061 ????? .bFM C（ 3）計(jì)算 D橫截面上的剪力 QD 和彎矩 MD 看左側(cè) 1 6 0 6 0 0DAQF F? ? ? ? ?1( ) 1 3 . 8 k N mD AF c a c F aMF? ? ? ? ? ? ? ?解 : 例題 4 求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩 . （ 1）求支座反力 FA=4kN FB=4kN C 1 2 M （ 2）求 11截面的內(nèi)力 （ 3）求 22截面的內(nèi)力 1 4 k NCAQFQ ? ? ?左1 1 4 k N mC AFMM ? ? ? ? ?左2 ( 4) 4 kNBCQ Q F? ? ? ? ? ? ?右2 ( 2 5 1 ) ( 4 ) 1 5 6k N mC BF . .MM ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?右B 1m 10kN bendingmoment equations。 如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。了解提高彎曲強(qiáng)度的措施。 教學(xué)難點(diǎn)： 剪力、彎矩和載荷集度的微分、積分關(guān)系，疊加法繪制剪力圖和彎矩圖。 3個(gè)約束， 0個(gè)自由度。（左上右下為正） A E c QE FA ME EAQF?00y A EF , F Q? ? ?? (Bending moment) 梁的任意橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于該截面保留一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有的外力（包括外力偶）對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。bendingmoment diagrams) 剪力圖為正值畫(huà)在 x 軸上側(cè) ,負(fù)值畫(huà)在 x 軸下側(cè) 以平行于梁軸的橫坐標(biāo) x表示橫截面的位置 ,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩 .這種圖線分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖 x Q(x) Q圖的坐標(biāo)系 O M 圖的坐標(biāo)系 x O M(x) 例題 5 如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載 F 作用 , 試作此梁的剪力圖和彎矩圖 . B A F l x 解 : 列出梁的剪力方程 和彎矩方程 ( ) (0 )( ) (0 )Q x F x lM x F x x l? ? ? ?? ? ? ?Q x F x M 例題 6 圖示的簡(jiǎn)支梁 ,在全梁上受集度為 q的均布荷載用 .試作此梁的剪力圖和彎矩圖 . 解： （ 1） 求支反力 2ABqlFF??l q FA FB A B x （ 2）列剪力方程和彎矩方程 . 2( ) ( 0 )2( ) ( 0 )2 2 2AAqlQ x F q x q x x lx q lx q xM x F x q x x l? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?剪力圖為一傾斜直線 繪出剪力圖 ( ) (0 )2ql q lxQ x x? ? ??x=0 處 ， x= l 處 , 2qlQ ?2qlQ ??+ ql/2 ql/2 B l q FRA A x FRB 彎矩圖為一條二次拋物線 2( ) ( 0 )2 2 2A x qlx qxM x F x qx x l? ? ? ? ? ? ?l q FA A B x FB 00 ?? Mx ，0, ?? Mlx令 ()? ?? 02d d qlx qxMx得駐點(diǎn) 2lx ?彎矩的極值 822m a xqlMM lx ?? ?繪出彎矩圖 + 82qll/2 由圖可見(jiàn)，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大 但此截面上 Q= 0 兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對(duì)值為最大 l q FA A B x FB + ql/2 ql/2 + 82qll/2 82m axqlM ?m a x 2qlQ ?解 : （ 1）求梁的支反力 例題 7 圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受集中荷載 F 作用 (b a) 試作此梁的剪力圖和彎矩圖 . l F A B C a b FA FB AFbFl? BFaFl? 因?yàn)?AC段和 CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程 . 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 AC段 CB段 x x l F A B C a b FA FB ( ) ( 0 ) ( 1 )( ) ( 0 ) ( 2)FbQ x x alFbM x x x al? ? ?? ? ?()( ) ( ) ( 3 )( ) ( ) ( ) ( ) ( 4)F b F l b F aQ x F a x ll l lF b F aM x x F x a l x a x lll?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 由（ 1） ,（ 3）兩式可知， AC、 CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于 x 軸的直線 . ( ) (0 ) ( 1 )FbQ x x al? ? ?( ) ( ) ( 3 )FaQ x a x ll? ? ? ?x x l F A B C a b FA FB )4()()()( lxaxllFaxM ????)2()0()( axxlFbxM ??? 由（ 2），（ 4）式可知， AC、 CB 兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線 . lFblFa+ x x l F A B C a b FA FB + lFbalFblFa+ 在集中荷載作用處的左 ,右兩側(cè)截面上剪力值 (圖 )有突變 ,突變值等于集中荷載F. 彎矩圖形成尖角 ,該處彎矩值最大 . Qmax=Fb/l Mmax=Fba/l x = 0 ， 0?MAC段 x = a ， ?C FabM lx= l ， M = 0 x = a , ?C FbaM lCB段 FaM ( x ) ( l x ) ( a x l )l? ? ? ?0FbM ( x ) x ( x a )l? ? ?解：求梁的支反力 例題 8 圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受矩為 M的集中力偶作用 .試作此梁的的剪力圖和彎矩圖 . ?A MF l ??B MF l將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 . 因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以 全梁只有一個(gè)剪力方程 ( ) ( ) ( )Q ? ? ?01Mx x lll A B C a b FA FB M 由 (1)式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條平行于 x 軸的直線 . + MlAC段 CB段 AC 段和 BC 段的彎矩方程不同 x x l A B C a b FA FB M () ? MM x xl )0( ax ??( ) ( )? ? ? ? ?MMM x x M l xll )( lxa ??AC， CB 兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線 . x = a ， ?C MaM l左 x = 0 ， 0?MAC段 CB段 x = a , ??C MbM l右x= l ， M = 0 + MalMbl 梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值 (圖 )發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值 .此處剪力圖沒(méi)有變化 . l A B C a b FA FB M + /Ml+ MalMbl 、集中力偶作用處、分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處 ,及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段 .分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程 ,然后繪出剪力圖和彎矩圖。 mm截面上內(nèi)力為 Q(x) ,M(x) n x m m n dx 0 d[ ( ) d ( ) ] ( ) ( ) d ( ) d 02CMxM x M x M x Q x x q x x?? ? ? ? ??Q(x) M(x) Q(x)+dQ(x) M(x)+dM(x) m m n n q(x) C 寫(xiě)出微段梁的平衡方程 0 ( ) [ ( ) d ( ) ] ( ) d 0yF Q x Q x Q x q x x? ? ? ? ??得到 d ( ) ()dQx qxx ?略去二階無(wú)窮小量即得 d ( ) ()dMx Qxx ?對(duì)上式求導(dǎo)： 22d d