【正文】 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直 接展開更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 例 利用 001 1 1c o s ( ) ( ) ,2 2 ! !i z i znnnneez iz iznn? ???????? ? ? ???????2 2 4 20( 1 )c o s 1 ( 1 ) ,( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !n n nnnz z z zznn???? ? ? ? ? ? ? ??并且收斂半徑 .R ? ??同理 210( 1 )sin( 2 1 ) !nnnzzn???????? ?3 5 2 1( 1 ) .3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??本例利用直接方法也很簡(jiǎn)單 以及 ? ?20 1 .! 2 ! !nnz n z z ze z z??? ? ? ? ? ? ? ? ??例 可解得 性質(zhì) 4 .1 (1 ) 設(shè)級(jí)數(shù) 和 的收斂0 nnn az??? 0 nnn bz???半徑分別為 和1R 2,R 則在 內(nèi) , 0 0 0( ) ,n n nn n n nn n na b z a z b z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 00 0 0 .n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?(2 ) 設(shè)級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 r.0() nnnf z c z??? ?如果在 內(nèi) , 函數(shù) 解析 , 并且Rz? )(zg ,)( rzg ?則當(dāng) 時(shí) ,Rz? 0[ ( ) ] [ ( ) ] .nnnf g z c g z??? ?和 ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1 nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ??例 求 21() ( 1 )fz z? ?在 0z? 點(diǎn)鄰域內(nèi) 的 Taylor級(jí)數(shù) . 解 1 1z ??是 ()fz的惟一奇點(diǎn) , 且 1 0 1 ,z ??故收斂半徑 ? 在 中，用 z替換 z, 則 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ?逐項(xiàng)求導(dǎo)，得 ? ?221 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .( 1 ) nnz z n z zz ? ? ? ? ? ? ? ? ??例 將 ? ? 221()1fzz??展開為 z的冪級(jí)數(shù) . ? ?201 ( 1 ) ( 1 ) 1 ,( 1 )nnnn ?????? ? ? ?? ?令 則 2 ,z? ?22201 ( 1 ) ( 1 )( 1 )nnnnzz??? ? ?? ?? ?2 4 21 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .nnz z n z z? ? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)例 ， 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語(yǔ)句 . symsz。=229。 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 如圖 : z ?? z ??由 , 冪級(jí)數(shù) 收斂情況有三種 : 0nnnaz???定理 ( Abel 定理 ) 若級(jí)數(shù) 在0 nnn cz??? 1 0z ?處收斂，則當(dāng) 時(shí) , 級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 。== + + + +229。== + + + +229。 的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域 . . 1?1?. 冪級(jí)數(shù) 00() nnna z z???? 的收斂范圍是 因此， 事實(shí)上 , 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討 問題： 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何 ? 以 為中心的圓域 . 0zz?收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形 , 分別 , 0 , . R??規(guī)定為 論比較復(fù)雜 , 沒有一般的結(jié)論 , 要對(duì)具體級(jí)數(shù) 進(jìn)行具體分析 . 解 21 11 ( 1 ) .1nnnzS z z z zz? ?? ? ? ? ? ? ??1?z 1lim 1nn S z?? ? ?級(jí)數(shù) ???0nnz 收斂 , 1?z 0lim ??? nn z 級(jí)數(shù) ???0nnz 發(fā)散 . 絕對(duì)收斂 , 且有 在 內(nèi) , 級(jí)數(shù) 1z ? ???0nnz例 求級(jí)數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑 . 0nnz???所以收斂半徑 1,R?01 .1nnz z??? ??收斂半徑的計(jì)算方法 (一 ) (3) 當(dāng) 時(shí) , 收斂半徑 1.R r=0 ?? ? ??1l i m ,nn naa ?????。 taylor(f,z,4,a)ans=1/(ab)1/(ab)^2*(za)+1/(ab)^3*(za)^21/(ab)^4*(za)^3211.1nz a z a z aza b a b a b aba? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???2231 1 1 1( ) ( )( ) ( )z a z az b b a b a b a? ? ? ? ? ?? ? ? ?11 ( ) .()nn zaba ?? ? ? ??當(dāng) 即 時(shí) , 1,zaba? ?? z a R b a? ? ? ?所以 定理 設(shè)冪級(jí)數(shù) 收斂半徑 00() nnna z z????為 R, 并且在 內(nèi) , 0z z R??00( ) ( ) ,nnnf z a z z?????則 是 內(nèi)的解析函數(shù) , 且在收斂圓 ()fz 0z z R??0z z R??內(nèi) , 可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分 , 即 (1) 當(dāng) 時(shí) , 0z z R?? ? ? 101( ) 。 f=log(1+z)。 :)2( 21 RR ?兩收斂域有公共部分 .201 RzzR ???結(jié)論 : 的收斂區(qū)域?yàn)殡p邊冪級(jí)數(shù) nnn zzc )( 0??????.201 RzzR ???圓環(huán)域1R2R. 0z常見的特殊圓環(huán)域 : 2R. 0z200 Rzz ???1R. 0z??? 01 zzR ???? 00 zz. 0z(1) 冪級(jí)數(shù)的收斂 域 是圓域 ,且和函數(shù)在 收斂 域 內(nèi)解析 . (2) 在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級(jí)數(shù) . 對(duì)于 Laurent級(jí)數(shù)，已經(jīng)知道： Laurent級(jí)數(shù)的收斂 域 是圓環(huán)域，且和函數(shù) 在圓環(huán)域內(nèi)解析 . 問題 : 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開 成 Laurent級(jí)數(shù) ? 對(duì)于通常的冪級(jí)數(shù)，討論了下面兩個(gè)問題 : 函數(shù)的 Laurent 級(jí)數(shù)展開 定理 (Laurent展開定理 ) 設(shè) 120,RR? ? ? ? ?函數(shù) f (z)在圓環(huán)域 1 0 2R z z R? ? ?內(nèi)解析 , 則函數(shù) f (z) 在此環(huán)域內(nèi)可展開為 Laurent級(jí)數(shù) ? ?0 1 0 2( ) ( ) ,nnnf z