【正文】 的 σ 分量表達(dá)式。 例 6： 試求二階對(duì)稱(chēng)張量自變量的各向同性二階張量值線性函數(shù)。 若 F(A)是各向性函數(shù)； A是對(duì)稱(chēng)二階張量。 證畢。 ii） {I, A}是線性無(wú)關(guān)組。當(dāng)： i） ii） iii） 時(shí)： {I, A, A2}是線性無(wú)關(guān)二階張量組； 321 ??? ??321 ??? ??321 ??? ??時(shí)： {I, A}是線性無(wú)關(guān)二階張量組； 時(shí)： {I}是線性無(wú)關(guān)二階張量組。即： F??? ?? 。 F(A)都是二階張量 R的特征矢量。 證： 設(shè) A的單位特征矢量為 r，其對(duì)應(yīng)的特征值為 λ。如二元實(shí)函數(shù)： 的函數(shù)形 22( , ) 。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)。總存在 Q使得： 1 1 2 2 3 3。,()( 321321 rrrA ???FF ?∵ F (A) 是各向同性函數(shù)。 （ ） iii） 12223 2 33()1( ) [ ( ) ( ) ]21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 2 3I t rI t r t rI t r t r t r t r???? ? ?AAA A AA A A A A（ ） 證： i） ∵ IAQAQAQAQAQAIQAQAQAQAQAQAFQ)(*)(*)()(*)(*)(*)(*)()(*)(*3221332213IIIIII????????????????????????321 2 31 2 3321 2 3( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) * ( )* * * ( ) * * ( ) * ( )* ( ) * ( ) * ( )Q I I II I II I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F A Q A Q A Q A Q A Q A Q A IQ A Q Q A Q Q A Q A Q A Q Q A Q A Q A Q A IQ A Q A Q A Q A Q A Q A I∴ )(* QAFQFQ ???F(A)是各向同性張量函數(shù)。 簡(jiǎn)稱(chēng) Φ (Ψ )是各向同性張量函數(shù)。 各向同性張量函數(shù) 對(duì) Φ∈ Pr ,作為 r 個(gè) V 中矢量的張量積的線性表示。使得當(dāng)所有的自變量張量 A 滿足： ??? |||| 0AA時(shí)，對(duì)應(yīng)的張量函數(shù)都有： 0|| ( ) ( ) || ???F A F A （ ） 則稱(chēng) F( A ) 在 A0 點(diǎn)連續(xù)。設(shè)一元實(shí)函數(shù)為 f (x) 。該點(diǎn)的應(yīng)力 狀態(tài)可由應(yīng)力張量 σ 表示。 （ a）設(shè)矢量 a是 V中任意給定的矢量； x是 V中的矢量。 3． r=1， s=1時(shí)： Φ記為 u， F記為 f，則： )(: ufuf ? （ ） F (u)稱(chēng)為一階張量自變量的一階張量值函數(shù)。若存在映射 F 使得： )(: ΦFΦF ? （ ） F(Φ )是 r階張量自變量的 s階張量值函數(shù)。 0 , 0? ? ? ? ? ? ? ?A A A A A A⊙（ ） 對(duì)任意 Pr中的張量 A, B∈ P 。 1111 ??? riiiiii iiA rrr ???? ?? （ ） 那么 )3,2,1,( 11 ?rii iiA r ??的滿足（ ）的每一組 3 r個(gè)取值確定 一個(gè) A。本章的 主要內(nèi)容旨在解決上述問(wèn)題。 張量函數(shù) 設(shè) V是三維 Euclid矢量空。而滿足（ ）的所有 A構(gòu)成 Pr的一個(gè)子集合，且 稱(chēng)這一子集合為 Pr的一個(gè)閉集（若等號(hào)不成立則稱(chēng)為開(kāi)集） 。由（ ）式可引入張量的 模和兩張量之間的距離。張量函數(shù)的自變 量取值的開(kāi)集 ( 或閉集 ) Φ ∈ P ? Pr 的 P 稱(chēng)為張量函數(shù)的 定義域；張量函數(shù) F(Φ )的所有定義域中 Φ 的取值集合（ s 階張量集合）稱(chēng)為張量函數(shù)的值域。或稱(chēng) f (u)是 矢量自變量的矢量值函數(shù)。則： ii xa?? xa式中 f ( )取為法則 a 對(duì)確定的受力物體，同一點(diǎn)不 同截面上的應(yīng)力可由該截面的外法線矢量和應(yīng)力張量表示 。若對(duì)任意給定的正數(shù) ε， 總存在著一個(gè)正數(shù) δ 。 對(duì)張量函數(shù) F ( A )，若（ ）式成立，則該式也可寫(xiě)成 極限的形式： 0 0l im ( ) ( )AA? ?F A F A（ ） 這一表達(dá)式中： rrrr iiiiiiii AA iiAiiA ?? ?? 1111 )( 00 ???表示： 11 01( ) ( , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA A i i??在 V 中的坐標(biāo)系 {o。如果對(duì) Φ 中線性表示的每一個(gè)由 r 個(gè) V 中矢量張量積的項(xiàng)都作用 任意給定的正交二階張量 Q ，而 Φ不發(fā)生變化。 例 2： i） ii） iii） )()( uQfufQ ???*)()( QAQA ??? FF*)(*)( QAQFQAFQ ?????其中 u、 A是矢量和二階張量； f、 F、 F是矢量值、標(biāo)量值 和二階張量值函數(shù)。 ii） 設(shè) A的特征值為 λ，特征矢量為 u ≠ o。對(duì)任意 Q ： 1 2 3 1 2 3( * ) ( ) ( , , 。? ? ? ? ? ?Q r r Q r r Q r r因此若要： ),。此時(shí) 321 , rQrQrQ ???的函數(shù)的函數(shù)值相等。 3 , 4f x y x x y x s t y t? ? ? ? ?則： 22 2 2 2 2 3( , )( , ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 9 6 1 2 4f x y x x yf s t s t s t t s s t t s t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證畢。則： rrAAr ?????由 r構(gòu)造二階張量： IrrR ?? 2對(duì)任意 u∈ V ： ( ) ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ]4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R u R u r r I u r r I ur r r u r u r u r u u u u u因此由 r構(gòu)造的 R是正交二階張量。同時(shí) r還是二階對(duì)稱(chēng)張量 A的特征矢量。)( rAFrF??? ?? 。 證： i） 若 {I, A, A2}是線性無(wú)關(guān)組。則當(dāng) μ1 = μ2 = 0 時(shí)： OAI ?? 21 ??取 321 , ??? ? 對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r1, r2。 定理： 二階對(duì)稱(chēng)張量自變量的二階張量值函數(shù) F(A)是各向 同性的。當(dāng) A的特征值 321 ??? ?? 時(shí)，由引理 1可知 F(A)與 A有相同的特征矢量 r1, r2 , r3。 表達(dá)式 解： ∵ F(A)是各向同性張量函數(shù)。 解： ∵ 2 2 2( ) : : ( ) : : : : : : : :m m m m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?σ IA σ I σ A σ σ A I I A σ I A I∴ : 。即 Δx0和 Δx0 , 而對(duì)張量函數(shù)，即 使對(duì)自變量是矢量的情況 , 自變量 Δu的改變量可以是任意 方向的改變。 商法則： 設(shè) Φ∈ Ps,Ψ ∈ Pr。則： 設(shè) ΩΦΩΦΨ )()( r??將該式與（ ）第一式相減得： ΦΩΦΩΦΨΦΨ )()()()( rr ?? ???由于張量的 r點(diǎn)乘是線性運(yùn)算，（見(jiàn) 。 0? ? ?? ? ? ?依次可由： 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 22 3 3 2 3 1 1 3 3 2 2 33 3 3 3( ) 。 11? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??其余 )3,2,1,( ?lkjii j k l? 均為零。 由商法則得： VΩVL A )()( r??若記： ()dd?FAΩA則： ()( 。 i1, i2, i3構(gòu)成的 }3,2,1,。 證： ∵ () : ( 。 例 11： 計(jì)算 ()tr ?AA 的導(dǎo)數(shù)和微分。 ) }( de t ){ ( ) [ * ( ) ] ( ) [ * ( ) ] ( ) [ * ( ) ] }()( de t ){ : [ * ( ) * ( ) * ( ) ] }()( de t ){ * [ ( ) ( ) ( ) ] } :()dd???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???AVAAV c A a b V b A c a V a A b ca b cAV A a b c A c a b A b c aa b cAA a b c c a b b c a Va b c∵ a,b,c是非共面矢量。 設(shè) F、 G、 A分別是 r、 s、 p階張量。若 F (A)， G (A)在 A處可 微。 rA∵ AAA ?? ? )( 1rr∴ 1111()( 。 ) :rrrrrdddddddd?????? ??? ? ? ? ? ????????????? ? ? ???????AAA A V V A A VAA A V A A VA（ ） 當(dāng) r = 0時(shí)：由張量微分定義（ ）式有： ( 。且： ( ) ( ) ( )( 。容易驗(yàn)證 ?函數(shù)間的張量積 。即： cbau 321 uuu ???ucbaacbcacbbacbabaccbacbbacacbaccbabcbaaacbubacucbauacbbaccbau)()()()()()()()()()()()()(])()()[(321321321?????????????????????????????????????????????uuuuuuuuu∴ [ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ? ? ???u a b c c a b b c a ua b c[ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ????a b c c a b b c aIa b c將該式代入 {d e t( 。 ) [ ( ) ][ : ( ) ][ : ( ) ][ : ( ) 2 ) ]: ( )( ) )2 ( )2 * :ssssddt r t r sdsdsdsds s sdsst r t r (tr????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????A V A VI A VI A A A V V A V VI A V V A V VI A V V AA V V AAVAV由于 V的任意性： 2[ ) ] 2*d tr (d ?A AA例 12： 試求 I1(A)、 I2(A)、 I3(A)的導(dǎo)數(shù)。 * )1l i m ( * * ) ( * ) ]1l i m ( ( ) * ) ( * ) ]ssdFdFd[ F s Fs[ F s Fs????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?AV Q A Q Q V QAQ A Q Q V Q Q A A V Q Q A Q又 ∵ )(*)( AQAQ FF ??? （ F(A)是各向同性函數(shù)） 。{ 11 ?rjj jjr ?? ii。 定理： 張量函數(shù) F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)若存在，則 d ( )dFAA是唯一 的。則按一元實(shí)函 數(shù)導(dǎo)數(shù)定義推廣有： ( ) ( ) ( ) ( || || )o? ? ? ?AF A V F A L V V（ ） 式中 LA(V )是 V的線性部分。 ( )( ) 。 證畢。則存在唯一的 Ω∈ Ps+r ，使得： ( ) ( ) 。為此將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式等價(jià)地變成為： 。 : : 0? ? ?A I O I A O I A I又 ∵ A是各向同性四階張量由（ ）式得： lkjijkiljlikklij