【正文】 ) 當(dāng) r = 1時(shí)。 ) :rrrrrdddddddd?????? ??? ? ? ? ? ????????????? ? ? ???????AAA A V V A A VAA A V A A VA（ ） 當(dāng) r = 0時(shí)：由張量微分定義（ ）式有： ( 。 rA∵ AAA ?? ? )( 1rr∴ 1111()( 。 解： 由（ ）式（式中 V 取 d x）： ( ) ( )[ ] ( ) ( )d x d xd d x x x d xd x d x? ? ? ?? ? ? ?uf u u u例 15： 解： 設(shè) A是二階張量。 ) ( )[ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (r r s sr s r srsssi i i i j j j jsi i j j i i j jsi i j j isddsdsdssdsdF s G sdsdF s G sdsdF s G sds???????? ? ?????? ? ??? ????? ? ???????? ? ???????H A V H A VF A V G A VA V i i A V i iA V A V i i i iA V A V i11 1 1 1 1 11 1 1 100000) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )rsr s r s r sr s r si j ji i j j i i j j i i j jssssi i j j i i j jsddF s G s F s G sd s d sddF s G F G sd s d s?????????? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ???i i iA V A V A V A V i i i iA V A A A V111 1 1 1 1 1 1 100000( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()rsr r s s r r s si i j jsi i i i j j j j i i i i j j j jssssddF s G F G sd s d sddssd s d sdd?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??i i i iA V i i A i i A i i A V i iF A V G A F A G A VFA ()( ) ( ) ( ) ( )ppdd??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?GAV G A F A VAA例 14： 設(shè) x ∈ F 。且： ( ) ( ) ( )( 。若 F (A)， G (A)在 A處可 微。即函數(shù)的數(shù)量積）。 數(shù)量積時(shí)都是張量函數(shù)間的乘積 取為張量 運(yùn)算（這一點(diǎn)與一元實(shí)函數(shù)不同。容易驗(yàn)證 ?函數(shù)間的張量積 。 設(shè) F、 G、 A分別是 r、 s、 p階張量。另一方面 與一元實(shí)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算相對(duì)應(yīng)的張量復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)運(yùn)算則由推廣的鏈?zhǔn)椒▌t給出。 ) } ( d e t ) ( * ) : ( d e t ) * :dd ??? ? ?AV A A I V A A VA由于 V的任意性： {d e t } ( d e t ) *dd ??A AAA（ ） （ ） Leibniz法則和鏈?zhǔn)椒▌t 在例 12中求 2ddIA量函數(shù)， (trA)2看作是標(biāo)量函數(shù)的平方函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算， 的過程中對(duì) (trA)2 求導(dǎo)時(shí)，將 trA看作一個(gè)標(biāo) 并利用一元函數(shù)地求導(dǎo)法則： 2)]([)( xfxg ?22( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]2 ( )[ ( ) ]d g x d f x d f x d f x d f xfxd x d x d f x d x d x? ? ?因此 (trA)2作為二階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)， (trA)2對(duì) A的 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算為： ? ? ? ?22( ) ( )2 ( )d tr d tr d tr trd d tr d? ? ? ?? ? ? ???AA A AIA A A這一求導(dǎo)運(yùn)算在一元實(shí)函數(shù)中就是兩函數(shù)的積函數(shù)求導(dǎo)運(yùn) 算。即： cbau 321 uuu ???ucbaacbcacbbacbabaccbacbbacacbaccbabcbaaacbubacucbauacbbaccbau)()()()()()()()()()()()()(])()()[(321321321?????????????????????????????????????????????uuuuuuuuu∴ [ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ? ? ???u a b c c a b b c a ua b c[ ( ) ( ) ( ) ]()? ? ? ? ????a b c c a b b c aIa b c將該式代入 {d e t( 。 ) }( de t ){ ( ) [ * ( ) ] ( ) [ * ( ) ] ( ) [ * ( ) ] }()( de t ){ : [ * ( ) * ( ) * ( ) ] }()( de t ){ * [ ( ) ( ) ( ) ] } :()dd???????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???AVAAV c A a b V b A c a V a A b ca b cAV A a b c A c a b A b c aa b cAA a b c c a b b c a Va b c∵ a,b,c是非共面矢量。 解： 00{ d e t( 。 ( ) [ ( ) ( ) ] 。 ) [ ( ) ][ : ( ) ][ : ( ) ][ : ( ) 2 ) ]: ( )( ) )2 ( )2 * :ssssddt r t r sdsdsdsds s sdsst r t r (tr????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????A V A VI A VI A A A V V A V VI A V V A V VI A V V AA V V AAVAV由于 V的任意性： 2[ ) ] 2*d tr (d ?A AA例 12： 試求 I1(A)、 I2(A)、 I3(A)的導(dǎo)數(shù)。 例 11： 計(jì)算 ()tr ?AA 的導(dǎo)數(shù)和微分。 ∵ ( ) ( )ijijd F FdA???AA iiA∴ ( ) ( * ): : ( * )*( * )( * )*( * )* ( )*( * )*( * )*( * )*:dF dFdddFtrddFtrddFtrddFtrddFd??? ? ???????? ? ? ???????????????? ? ? ???????????????? ? ? ???????????????? ? ? ?????????????? ? ?????A Q A QV Q V QAAQ A V QAQ A Q VAQ A Q VAQ A Q VAQ A Q VA由于 V的任意性。 )sQdF [ F s F d Fds ??? ? ? ? ?????A V A V A A VA即 dF (A。 * )1l i m ( * * ) ( * ) ]1l i m ( ( ) * ) ( * ) ]ssdFdFd[ F s Fs[ F s Fs????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?AV Q A Q Q V QAQ A Q Q V Q Q A A V Q Q A Q又 ∵ )(*)( AQAQ FF ??? （ F(A)是各向同性函數(shù)） 。 證： ∵ () : ( 。 ∴ 1 1 1 1()s r s ri i j j i i j jdd ??FA i i i iA又 ∵ srs iijjii AF iiAF ??? 111 )()( ?11111111()()srsrsrsri i j ji i j jiijjiijjdddFdFA??????????? ???????FAAAA最后得： ∴ 1111() ssrriii i j jjjFddA???FA i i i iA例 10： 設(shè) F(A)是二階張量自變量的標(biāo)量值各向同性函數(shù)。試證明： rsrs jjiijjiiAF iiiiAAF ????1111d)(d??? （ ） 證： 由（ ）式： VA AFVL A )(d )(d)( r?? ∵ LA( V )是 r階張量自變量的 s階張量值線性函數(shù)。{ 11 ?rjj jjr ?? ii。 i1, i2, i3構(gòu)成的 }3,2,1,。 i1, i2, i3}。 由（ ）得（將 V用 sV代換） 000()( ) ( ) ( ) ( | | | | )( ) 1( ) [ ( ) ( ) ( | | | | ) ]( ) ( )l i m( ( ) ) ( )l i mrrsstds s o sdds o sdssss t sst?????? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ???FAV F A V F A VAFAV F A V F A VAF A V F AF A V F A V000()00( ( ) ) ( )l i m( ) ( )l i m( ) ( )l i m()()tstssst s sstttssddsdsds???? ? ?????? ? ? ????????????A B A VABBAF A V F A VF B V F BF B V F BFBF A V證畢。 定理： 張量函數(shù) F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)若存在，則 d ( )dFAA是唯一 的。 由商法則得： VΩVL A )()( r??若記： ()dd?FAΩA則： ()( 。且記為： ( ) ( 。當(dāng) || V ||→0 時(shí)， o(|| V ||)→0 。則按一元實(shí)函 數(shù)導(dǎo)數(shù)定義推廣有： ( ) ( ) ( ) ( || || )o? ? ? ?AF A V F A L V V（ ） 式中 LA(V )是 V的線性部分。 11? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??其余 )3,2,1,( ?lkjii j k l? 均為零。 11