【正文】 1 1 11 2 32 2 21 2 33 3 31 2 3d e t( )mna a aa a a a aa a a? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?轉下頁 順序排列 123123張量的 矢積 ※ 置換符號與行列式的展開式 1 2 3 2 3 1 3 1 21 2 3 1 2 3 1 2 31 3 2 2 1 3 3 2 11 2 3 1 2 3 1 2 3a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?順序排列 123逆序排列 123利用置換 符號可寫成 1 2 3i j k ijka a a a e? ? ??進一步可寫成 i i il m ni j k lm n j j jl m n ijk l m nk k kl m nlm nijka a aa a a a e e a a aa a aa? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? 置換 張量 的分量 ? ? ? 注： 和 都不是標量，但是 是置換張量的分量 張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 對于三維空間中 正交 標準化基 ，有 ? ?,i j ke e e? ( , , 1 , 2 , 3 )i j k i j ke i j k?? ????e e e對于任意曲線坐標系 ，有 ? ?,i j kg g gi j k i j kge?? ???g g g1i j k i j keg?? ???g g g定義 i j k i j k i j kge??????g g g? 1i j k i j k i j keg??????g g g? 為置換張量，即 Eddington張量 的協(xié)變分量與逆變分量。 張量的 矢積 ※ 置換符號與行列式的展開式 置換符號，又稱 Ricci符號，是把有序 變換群表達到最簡單的排列（置換）符號。 兩種 運算對任意張量均成立 pF 2pF 2pF 2pF 2pF??對稱 反對稱 張量的代數(shù)運算 ※ 張量的商法則（判斷是否為張量） 若張量 ??T R S ，已知 為張量，則 必為張量。 ij jikl klTT?? ????若四階張量 滿足 i j k lk l i jT ???T g g g g則稱張量 T對其 1， 2指標是反對稱張量，用 來表示其轉置張量 ，則 。 i j i j i j j ii j i j j i i ji j i j i j j ii j i j j i i jT T T TT T T T??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?T g g g g g g g gg g g g g g g g其中， iji j i j ijTT??? ? ? ?? i j i j i jijTT??? ? ? ??i i j ij i j jTT??????? j i j ji i j iTT?????????張量的基本概念 張量 T 一組有序數(shù)，滿足 坐標變換 和 指標升降 下的 不變 性。 :?σ E εij ijk l k lE???本構是客觀的 直角坐標系下分量形式 張量的基本概念 張量 T 一組有序數(shù)，滿足 坐標變換 和 指標升降 下的 不變 性。每縮并一次，并矢的階數(shù)降低兩階。 ij i j?? ee??ijee☆ 并矢還包括多于兩個矢量的并矢，稱為多并矢，如 abc， abcd等。 ☆ 并矢是從抽象的角度提出的，在許多物理和力學問題中都需要用到并矢。 由所有切線構成的切空間很重要！ —— 陳省身 非線性變換， 一定 存在 Jacobi矩陣或逆矩陣 ji i j????gg(Jacobi矩陣 ) (Jacobi逆矩陣 ) jji ixx? ? ????iij jxx??? ???i i jj????gg—— 協(xié)變轉換系數(shù) —— 逆變轉換系數(shù) 曲線坐標系的坐標變換 張量分析中的第二大基本關系： 坐標變換 關系 ※ 矢量 分量 的坐標變換： jjii?????gg j i i j j ij i i j j iijj i j i j iv v v vv v a n d v v????? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?v g g g giijj?????gg 與 的性質： ji?? ij??k j j k ji k k i i? ? ? ? ??????? j i i j j ij i i j j ij i j i j iijv v v vv v a n d v v????? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ?v g g g g曲線坐標系的坐標變換 回顧 第一大基本關系：指標升降關系 jijivv??v g gj j i ij j i iv v g v? ? ?v g g gji ijv g v? i ij jv g v?j i i jj i i jv v v g? ? ?v g g gij ijv v g? ij jiv g v?曲線坐標系的坐標變換 張量分析中的第二大基本關系： 坐標變換 關系 = = ( , = 1 , 2 , 3 )kli j i j i j k lg g i j??? ? ? ? ? ? ???gg※ 度量張量 分量 的坐標變換： = = ( , = 1 , 2 , 3 )i j i j i j k lklg g i j??? ? ? ? ? ? ???gg= = ( , = 1 , 2 , 3 )kli j i j i j k lg g i j?? ?? ???gg= = ( , = 1 , 2 , 3 )i j i j i j k lklg g i j?? ?????gg小注：對于矢徑 r，只有在直角和斜角直線坐標系下才可寫作 ，而在大多數(shù)曲線坐標系下不成立。39。39。39。39。39。39。39。 39。39。39。 39。39。i i ix = x x? ?39。iiii??gg曲線坐標系的坐標變換 新、老坐標之間的變換和逆變換： ? ?39。ddi i iiiixx??gg→ → 39。d d dii i i iiixx = x xx ?? ??39。39。39。39。39。39。39。39。39。i i ix = x x? ?39。ddiiixx?igg曲線坐標系的坐標變換 新、老坐標之間的變換和逆變換： ? ?39。ddxxx x?? ?? ?iii irr→ 39。ddxx?iirr→ 39。i i ix = x x新、老基矢量之間的變換（注：重中之重）： ? ? ? ?39。39。常數(shù) Ai (i = 1,2,3): 1 1 1?Ag 2 2 2?Ag 3 3 3 ( )??AgAi 的物理意義是坐標 xi有單位增量時弧長的增量，