【正文】 由（ b ）式可知? ? ,rtJ ?在21 , ??平面中微元面積可以表示為 ?rd rd 對于三維流動，同理可得： 321321 ??? ddjddxdxdx ? 。S ?為? ?j?坐標系中通過 ( d) 式關(guān)系將坐標系中面積變換而得的面積。例如對一個二維流動，流速的導(dǎo)數(shù)： ? ?? ?221221112121,xuxuxuxuxxuu??????????? ( a) 如果要表示在另一坐標系? ?j?中流速的導(dǎo)數(shù)，則為： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?212121212121,,???? ??????? xxxxuuuu 其中 ? ?? ?? ?tJxxxxxx????????????221221112121,?????? ( b) 2022/2/12 77 ? ?? ?? ?tJxxxxxx????????????221221112121,?????? ( b) 即雅可比行列式。 零階張量（標量）都是各向同性張量； 一階同性張量除零矢量外，都不是各向同性張量； 二階各向同性張量形式為ij??，?為標量； 三階各向同性張量形式為為ij k??，?為標量； 2022/2/12 74 四 階各向同性張量形式為： jkiljlikkliji j k lH ????????? ???，其中??? ,為標量。 各向同性張量可以有不同的階。 為一行向量 。 兩個二階張量叉乘后得到一個三階張量。 ijij BA ?ijij BBAA ?? , ijij BABA ???ijij ABAB ?? ?? ,2022/2/12 69 五 、 張量的運算 4. 二階張量的點積 ： ； 定義“ .”為 讓并矢中相鄰單位向量點乘積。 2022/2/12 66 并矢 證明： 為二階張量 （ 1） （ 2） 要證 是二階張量 只需證明 （ 3） （ 1） ， （ 2） 代入即是 。因為如果將張量ijA分解為下列形式： ? ? ? ?jiijjiijijAAAAA ????2121 當變換ji ,后，右側(cè)第一項不變，第二項則改變符號。 說明 :標量是零階張量 ， 矢量是一階張量 ， 應(yīng)力是二階張量 。1 aaaa?jijijji aeeaa ?????? ?? )()1()( jijijji aeeaa ?????? ??2022/2/12 59 (3) 流場中點的應(yīng)力狀態(tài) 它有 9個分量來表示 舊坐標中應(yīng)力矢量： （ 2） 新坐標系中，應(yīng)力矢量 （ 3） 把（ 2）代入（ 3）有： （ 4） 于是 （ 5） 而 （ 6） jiji ePP?? ?jjii PeeP???? )( ????))(( ljljii ePeeP ???? ????jlklijkljljiki PeePeeeP ???????????????? ))((kiik ePP ????? ??ijPj,l舊坐標系 i,k新坐標系 j, j l,l i j ? ? jijjjii aaeea ?????? ??jlklijik PaP ???2022/2/12 60 凡符合 可變換規(guī)律的物理量稱為二階張量 。339。 若將矢量以坐標變換的基礎(chǔ)定義 （ 1） 加以推廣 ， 可得張量的定義 。 (2)對于流場中的矢量 ，新舊關(guān)系： 基矢： 在新舊坐標系中表示為： 于是： 其中 是 舊 新坐標中不同坐標軸夾角的余弦。 如： a? ia 3,2,1?i i2022/2/12 48 zayaxaxaaxaa：d i v zyxLLjj ?????????????????? ??如kkii babababababa ?????? 332211??jijiiixvvxvvxvvxvvvv??????????????332211)(??2022/2/12 49 符號 (1)克羅內(nèi)克爾符號 ?????????????????10001000110ijijjiji?? 寫成矩陣形式ijkjikjiijjiee??????????:性質(zhì) 各向同性張量，也就是說當坐標系轉(zhuǎn)動后，張量的分量不變 2022/2/12 50 ijij aa ??ijkjik TT ?? 具有替換下標的作用 ij??????????????321321332211iaiaiaaaaaaa iiiijjiijj當當當????? ?2022/2/12 51 (2)置換符號 （ ） （ 注：偶排列 123， 231， 312） ????????????奇排列時為當偶排列時為當中有兩個以上指標相同當3,2,1,13,2,1,1,0kjikjikjieijkijke ijk? ? ?kjiijkkijkji eeeeeeee ?????(3) 恒等式 ksjtktjsi s tijk ee ???? ????e2022/2/12 52 321 kjiijkij aaaea ?112332331221132231133221312312332211333231232221131211ijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa