流體力學(xué)－第一講,場(chǎng)論與張量分析初步-資料下載頁
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【正文】 （ 1） ， （ 2） 代入即是 。 ????????????332313322212312111bababababababababababa ji??ba??mimi aa ????njnj bb ???nm baba ???nmjnimji baba ?????2022/2/12 67 例題 1： ？ 例題 2： ??r?Ixxr ijij ?????? ??aaaxxara jijiiji??? ???????? ?)(2022/2/12 68 五 、 張量的運(yùn)算 ： ， 則各分量一一對(duì)應(yīng)相等 ： 則 ： A — 張量， λ 一個(gè)常數(shù) 等于個(gè)分量都乘以 λ 。 ijij BA ?ijij BBAA ?? , ijij BABA ???ijij ABAB ?? ?? ,2022/2/12 69 五 、 張量的運(yùn)算 4. 二階張量的點(diǎn)積 ： ； 定義“ .”為 讓并矢中相鄰單位向量點(diǎn)乘積。 ? ? ? ? nmmnjiij eeBBeeAA ???? ?? ,? ? ? ? nijnijnijmmnijnmmnjiij eeBAeeBAeeBeeABA ???????? ????? ?)()(兩個(gè)二階張量點(diǎn)積后得到一個(gè)二階張量。 兩個(gè)二階張量叉乘后得到一個(gè)三階張量。 2022/2/12 70 5． 二階張量的雙點(diǎn)積 (1)并聯(lián)式 相當(dāng)于收縮兩次 ， 變成 階張量 (2)串聯(lián)式 ? ? ? ?BA :022)22( ????? ? ? ? jiijinjmmnijnmnjiij BABAeeBeeABA m ??????? ??)()( ??????? ? ? ? ijijjnimmnijnmmnjiij BABAeeBeeABA ??? ??)(:)(: ??????2022/2/12 71 例： 1． 2． 3. 為一列向量 。 為一行向量 。 aIarara ?????? ???????? )(aaIIa ??? ????? ????????????????????333232131323222121313212111aPaPaPaPaPaPaPaPaPaPaP jij?? ? ),. . .. .. ,( 333232131313212111 PaPaPaPaPaPaPaPa iji ????????2022/2/12 72 kkjiikikiiiikiiiixpd i v PPpxd i v PP）pxg r a d PP）pPnnnn??????????????????二階張量的散度張量的散度張量的梯度階張量設(shè)張量的微分運(yùn)算???3232132121.62022/2/12 73 六 .各向同性張量 各向同性張量，當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)后，張量的分量不變。 各向同性張量可以有不同的階。但是不存在一階各向同性張量。 零階張量（標(biāo)量）都是各向同性張量； 一階同性張量除零矢量外，都不是各向同性張量； 二階各向同性張量形式為ij??，?為標(biāo)量； 三階各向同性張量形式為為ij k??，?為標(biāo)量； 2022/2/12 74 四 階各向同性張量形式為： jkiljlikkliji j k lH ????????? ???，其中??? ,為標(biāo)量。 如ij k lH為 對(duì)稱 張 量 ， i 和 j 對(duì) 調(diào) ， k 與 l 對(duì) 調(diào) 應(yīng) 不 變 ， 因此必然 得 到 ??? ?? ? ?jkiljlikkliji j k lH ???????? ??? 2022/2/12 75 第三節(jié) 雅可比行列式 雅可比行列式（ Ja cobi an ）定義為： ? ?jixtJ???? de t 例如一個(gè)三維的雅可比行列式為： ? ?? ?? ?332313322212312111321321,??????????????????????????????????xxxxxxxxxxxxtJ 2022/2/12 76 在坐標(biāo)系變化時(shí)，雅可比行列式有重要作用。例如對(duì)一個(gè)二維流動(dòng)，流速的導(dǎo)數(shù)： ? ?? ?221221112121,xuxuxuxuxxuu??????????? ( a) 如果要表示在另一坐標(biāo)系? ?j?中流速的導(dǎo)數(shù)，則為： ? ?? ?? ?? ?? ?? ?212121212121,,???? ??????? xxxxuuuu 其中 ? ?? ?? ?tJxxxxxx????????????221221112121,?????? ( b) 2022/2/12 77 ? ?? ?? ?tJxxxxxx????????????221221112121,?????? ( b) 即雅可比行列式。而在新坐標(biāo)系? ?i?中流速的導(dǎo)數(shù)： ? ?? ?221221112121,?????????????????uuuuuu ( c) 這個(gè)行列式中的每一項(xiàng)均可按行列式相乘的法則由行列式 ( a) 與 ( b) 求出，例如： 2221111111??? ???????????? xxuxxuu 2022/2/12 78 雅可比行列式的另一個(gè)重要作用是當(dāng)多重積分中要改變積分變量時(shí)，例如為簡(jiǎn)單起見仍研究一二維流動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的某一屬性? ?21 , xxF，流場(chǎng)的面積為 S ，如果變換到一個(gè)新的坐標(biāo)系? ?21 , ??中去， ? ?2111 , ??xx ?, ? ?2122 , ??xx ? ( d) 則 ,2211111????dxdxdx?????? .22211221????dxdxdx?????? 2022/2/12 79 微元面積 ???????????????????1221221121????xxxxdxdx21 ?? dJd ?? 二重積分在不同坐標(biāo)系中的變換可寫為： ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?2121212122112121,, ???????? ddxxxxFdxdxxxFss ??? ????? 式中? ?? ?2121,???? xx即二維雅可比行列式。S ?為? ?j?坐標(biāo)系中通過 ( d) 式關(guān)系將坐標(biāo)系中面積變換而得的面積。 2022/2/12 80 例：由直角坐標(biāo)系變換為極坐標(biāo)系 變換關(guān)系為： ,c o s1 ?rx ? ?s i n2 rx ? 此時(shí) ???? ~,~ 21。 由（ b ）式可知? ? ,rtJ ?在21 , ??平面中微元面積可以表示為 ?rd rd 對(duì)于三維流動(dòng)，同理可得： 321321 ??? ddjddxdxdx ?
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