第1章-張量分析(清華大學(xué)張量分析-你值得擁有)-資料下載頁(yè)
2025-08-05 10:53本頁(yè)面
【正文】 來(lái)表示其轉(zhuǎn)置張量 ，則 。 ij jik l k lTT?? ????TTT ?TTTTT j i k lk l i jT ???T g g g g T ??TT張量的代數(shù)運(yùn)算 ※ 張量的 對(duì)稱 化與反對(duì)稱化 可立即得出反對(duì)稱張量的對(duì)角分量均為零（同為協(xié)變或逆變指標(biāo)） ?對(duì)稱化運(yùn)算 T1 ()2??S T T?反對(duì)稱化運(yùn)算 T1 ()2??A T T對(duì)稱 結(jié)構(gòu)加任意載荷，均可分為對(duì)稱和反對(duì)稱。 兩種 運(yùn)算對(duì)任意張量均成立 pF 2pF 2pF 2pF 2pF??對(duì)稱 反對(duì)稱 張量的代數(shù)運(yùn)算 ※ 張量的商法則（判斷是否為張量） 若張量 ??T R S ，已知 為張量，則 必為張量。 S R具體 例子請(qǐng)見(jiàn) 《 張量分析 》 中 33 ~35頁(yè)。 張量的 矢積 ※ 置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式 置換符號(hào)，又稱 Ricci符號(hào)，是把有序 變換群表達(dá)到最簡(jiǎn)單的排列（置換）符號(hào)。 1 , ,1 , ,0 , ,ijkijki j ke e i j ki j k??? ? ????順 序 排 列逆 序 排 列非 序 排 列對(duì)于二階 張量而言，其混變分量與矩陣代數(shù)、行列式運(yùn)算相關(guān) 。 1 1 11 2 32 2 21 2 33 3 31 2 3d e t( )mna a aa a a a aa a a? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?轉(zhuǎn)下頁(yè) 順序排列 123123張量的 矢積 ※ 置換符號(hào)與行列式的展開(kāi)式 1 2 3 2 3 1 3 1 21 2 3 1 2 3 1 2 31 3 2 2 1 3 3 2 11 2 3 1 2 3 1 2 3a a a a a a a a aa a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?順序排列 123逆序排列 123利用置換 符號(hào)可寫(xiě)成 1 2 3i j k ijka a a a e? ? ??進(jìn)一步可寫(xiě)成 i i il m ni j k lm n j j jl m n ijk l m nk k kl m nlm nijka a aa a a a e e a a aa a aa? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? 置換 張量 的分量 ? ? ? 注： 和 都不是標(biāo)量，但是 是置換張量的分量 張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 對(duì)于三維空間中 正交 標(biāo)準(zhǔn)化基 ，有 ? ?,i j ke e e? ( , , 1 , 2 , 3 )i j k i j ke i j k?? ????e e e對(duì)于任意曲線坐標(biāo)系 ，有 ? ?,i j kg g gi j k i j kge?? ???g g g1i j k i j keg?? ???g g g定義 i j k i j k i j kge??????g g g? 1i j k i j k i j keg??????g g g? 為置換張量，即 Eddington張量 的協(xié)變分量與逆變分量。 ? g ijkeijkge張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 ? i j k ij kij k i j kl m n l m nl m n l m n? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???g g g g g gg g g g g g? li j ijl??g g g? 基矢量 的外積 ? ? ? i j ijl l??g g g? ? : : ( , 1 , 2 , 3 )i j i j i j ij? ? ? ?g g g g g g? ? : : ( , 1 , 2 , 3 )i j i j i j ij? ? ? ?g g g g g g? ? 矢量的外積 : : ( , 1 , 2 , 3 )ij? ? ? ?a b a b a b? ? 張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 ? 基矢量 的混合積 i j k i j k?? ???g g g g g g? 矢量的混合積 ? ? ?a b c a b c? 三個(gè)矢量的三重外積 ? ? ? ?( ) ( ) ( )? ? ? ?a b c a b c a b c: : : :? ? ? ? 矢量與張量、張量與張量的矢積 設(shè) a 是矢量， T 和 S 是二階 張量，它們之間的矢積如下 kli j ljkikjjkii TaTa gggggTa ????? ljk i lijkiikjjk aTaT gggggaT ????? ? ? i j k l i j k li j k l i j k lj k m ili j k l mT S T STS? ? ? ? ??T S g g g g g g g gg g g? ? ? ?i j k l i k j li j k l i j k lj l m j l mi k ii j k l m i j l mT S T ST S g T S ?? ? ? ? ? ???T S g g g g g g g ggg ? ? ? ?? ?nmlnji k mklijljkiklijlkkljiijSTSTSTggggggggggST????? ? ? ? i j kr s tktkskrjtjsjritisirr s ti j kr s ti j k ee ?????????????? 張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 ? ? 基矢量 的混合積 i j k i j k?? ???g g g g g g? 矢量的混合積 ? ? ?a b c a b c? 單位矩陣 的 行列式 ， 于是 有 ～ δ等式 ： ij????? ? ? 1d e t ?ij?? 張量的 矢積 ※ 置換張量 （ Eddington張量） 與 ～ δ等式 ? 縮并后得到 i j k i j k j k j ki s t i s t s t t s? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 2!i j k k ki j t t t? ? ???6 3 !ijkijk? ??110ijkrsti j k r s ti j k r s ti j k r s t????????， ， 和 ， ， 都 是 順 （ 或 逆 ） 序 排 列， ， 和 ， ， 一 個(gè) 是 順 序 排 列 , 另 一 個(gè) 是 逆 序 排 列， ， 和 ， ， 其 中 之 一 是 非 序 排 列廣義 Kroncker δ 是 一個(gè) 6階 張量
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