流體力學(xué)相似原理與(參考版)
2025-05-14 04:04本頁(yè)面
【正文】 掌握瑞利法和 π定理的分析方法 。 正確理解相似準(zhǔn)則 ， 重點(diǎn)掌握佛汝德和雷諾準(zhǔn)則 。 π定理的解題步驟： 選取參變量，寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系； 選取基本量； 寫(xiě)出 π的表達(dá)式； 列出指數(shù)指數(shù)方程； 求解指數(shù)方程； 代入 π表達(dá)式； 組合、整理。 試用定理求出計(jì)算壓強(qiáng)損失 Δp的公式及沿程損失 hf的公式 。則 代入 F（ π1， π2） = 0 得 或 （ ） 故 上式說(shuō)明阻力 等于某一系數(shù)乘 ρv2d2，而該系數(shù)是 Re的函數(shù) 。 （ 1） （ 2） 式（ 1）量綱表達(dá)式為 比較兩邊的量綱，于是有 式中 CD—— 阻力系數(shù) ， CD = f3 (Re)。 μ和 FD為導(dǎo)出量 ， 將它們分別與基本量進(jìn)行適當(dāng)組合 。 43211 111 xxxx cba??53212 222 xxxx cba??ncban xxxx nnn 333 3213 ??????…………………… M： 0 = c1 + 1 L： 0 = a1 + b1 – 3c1 – 1 T： 0 = – b1 – 1 ),( dvfF D ???0),(1 ?dvFf D ????? 1111 cba vd?Dcba Fvd 2222 ?? ?)()()( 1131000 111 ????? TMLMLLTLTLM cba 例 1：以上例為例，求 FD的表達(dá)式。 即 式中 ai、 bi、 ci—— 各 π項(xiàng)的待定指數(shù) 。 因此 ， x1， x2， x3不能 組合成無(wú)量綱量的條件是量綱公式中指數(shù)行列式不等于零 。 一般取三個(gè)基本物理量 ， 即 m=3， 要求這三個(gè)基本物理量不能組合成一個(gè)無(wú)量綱量 。 ),(22 vdfvF D ??? ?)(322 vdfdvF D ??? ?221 dvF D?? ? vd??? ?2由量綱和諧原理，上式右邊也無(wú)時(shí)間的量綱。 設(shè)影響圓球在液體中運(yùn)動(dòng)的阻力 FD與液體的密度 ρ和動(dòng)力粘度 μ， 圓球直徑 d、 相對(duì)速度 v 等因素有關(guān) ， 則可得如下函數(shù)關(guān)系 FD = f(ρ， v， d， μ) 上式兩邊除以 ρ， 得 ????),( dvfF D ?),(1 ??? dvfF D ?上式左邊已無(wú)質(zhì)量的量綱 M，由量綱和諧原理知，右邊也必須無(wú)質(zhì)量的量綱 M。 它首先由布金漢提出 ， 也稱(chēng)布金漢定理 。 聯(lián)立解上述方程組得 k2 = 2– k3 k1 = k3 – 1 k4 = 2 + k3 – k5 瑞利法適用于比較簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題 。 )( R e ,8 Rf ??? 20 8 v??? ? 各物理量的量綱 dimτ= M L1 T2 （ dim F = M LT2） dimρ=M L3 dimμ=M L1 T1 （ μ的單位 N﹒ s/m2） dim v = L T1 dim R = L dimΔ = L ),(0 ?? Rvf ???543210 kkkkk Rvk ?? ??? 解：由已知條件有 指數(shù)乘積式 將上述指數(shù)代入原指數(shù)乘積式 ， 得 54321 )()()()()( 111321 kkkkk LLLTTMLMLTML ?????? ? 553333 2210 kkkkkk Rvk ?? ????? ???量綱表達(dá)式 量綱和諧方程組 M： 1 = k1 + k2 L: – 1 = – 3k1 – k2 + k3 + k4 + k5 T: – 2 = – k2 – k3 以上方程組有五個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程。 nnnn kcbakbakcbacba CBACBACBACBA )()()( 2221111 ??nn kakakaa ???? ?2211nn kbkbkbb ???? ?2211nn kckckcc ???? ?2211量綱表達(dá)式 由量綱和諧原理可知，等號(hào)兩邊的基本量綱的指數(shù)必須一致，所以有 A： B： C： 例：根據(jù)觀察 、 實(shí)驗(yàn)和理論分析 ， 認(rèn)為總流邊界單位面積上的平均切應(yīng)力 τ0與流體密度 ρ、 動(dòng)力粘度 μ、 平均流速 v、 水力半徑 R以及固體表面凸出的平均高度 Δ有關(guān) 。 對(duì)上式進(jìn)行量綱分析，以找出諸因素之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 式中 k—— 無(wú)量綱數(shù)； k1， k2， k3， … ， kn—— 待定指數(shù) 。 ② 量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù) 。例如 ， 動(dòng)能方程 221 mvE ? 212 ?mvEgvpzgvpz2222222111 ????? ?? 量綱分析法 就是應(yīng)用量綱和量綱和諧來(lái)探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系，即建立物理方程的一種方法。 問(wèn)題 2：速度 v， 長(zhǎng)度 l， 重力加速度 g 的無(wú)量綱集合是： A. B. C. D. 問(wèn)題 3：速度 v, 密度 ρ, 壓強(qiáng) p 的無(wú)量綱集合是 ： A. B. C. D. glv glv gvl
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