[工學(xué)]第1章矢量分析(參考版)
2025-01-24 13:05本頁(yè)面
【正文】 ( 2 ) ( ) 0F? ? ? ? ?任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。 ()xF??xzy旋度可用符號(hào)表示： r ot FF? ? ?dcba電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 ?d d ( )ab zl z a??1d zyl F l F z F y? ? ? ? ? ??( ) ( )yzzy FFF y z F z yyz ??? ? ? ? ? ? ? ??? () yz xFF Syz??? ? ???其中： ?ddbc yl ya??ddcd zl za? ?d d ( )da yl y a??可得： () yzx FFF yz??? ? ? ???() x zy F FF zx? ?? ? ? ??? () y xz F FF xy? ?? ? ? ???同理： xzydcba所以： 10d( ) l im lxSxFlFS???? ? ???? ? ?yy xxzz x y zFF FFFFF a a ay z z x x y??? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?旋度公式： 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式 : ? ? ?x y zx y za a aFx y zF F F? ? ?? ? ?? ? ?電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 3. 斯托克斯定理： 物理含義： 一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。 2. 旋度 : 定義： 一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度。 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 柱坐標(biāo)系中： 1 ( ) 1rz FF r FFr r r z?????? ? ? ? ?? ? ?球坐標(biāo)系中： 22( s in )()1 1 1s in s inR FFRFFR R R R?? ?? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ?直角坐標(biāo)系中： yx zFF FFx y z?? ?? ? ? ? ?? ? ?常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 六、矢量場(chǎng)的旋度 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 六、矢量場(chǎng)的旋度 1. 環(huán)量： 在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。 ： 0ddiv l im SVFSF V???? ??電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 在直角坐標(biāo)系中選擇一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。 c. 如果閉合曲面上的總通量 0??說(shuō)明穿入的通量等于穿出的通量。 表達(dá)式： dS vS? ???若曲面為閉合曲面： dS vS? ???+ 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 討論： a. 如果閉合曲面上的總通量 0?? 說(shuō)明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。 標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為 ),( tzyx?0?0 d???P1P2Pdndl?電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 計(jì)算： d c osd n? ??d r a d dgl????d d dd d dnl n l???? d ? ?d nlaan???在直角坐標(biāo)系中： d d d dx y zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?d d d dx y zl x a y a za? ? ?所以： ? ? ?g r a d x y za a ax y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?梯度也可表示： gra d ????0?0 d???P1P2Pdndl?電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 在柱坐標(biāo)系中： 在球坐標(biāo)系中： 在任意正交曲線坐標(biāo)系中： ? ? ?rza a ar r z?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?s inRa a aR R R??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?1 2 31 1 2 2 3 3? ? ?u u ua a ah u h u h u? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式： 在直角坐標(biāo)系中： ? ? ?x y za a ax y z? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量分析 五、矢量場(chǎng)的散度 1. 矢線（場(chǎng)線）： 在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。 數(shù)學(xué)表達(dá)式： d ?g r a dd nan?? ?2. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 ： ddl? 空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。 1 2 3( , , )u u u1 2 3,h h h?體元： 1 2 3 1 2 3d d d dV h h h u u u?1 2 31 1 2 2 3 3? ? ?d d d du u ul h u a h u a h u a? ? ??線元： 11 2 3 2 3 ?d d d uS h h u u a?22 1 3 1 3 ?d d d uS h h u u a?33 1 2 1 2 ?d d d uS h h u u a??面元： 正交曲線坐標(biāo)系： 電磁場(chǎng)與電磁波 第 1章 矢量
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