矢量分析與場論ppt課件(參考版)
2025-05-02 02:48本頁面
【正文】 無論是靜態(tài)場，還是時變場，都要研究場矢量的散度、旋度以及邊界條件 ? ? ?? ? ?A ρAJSVlsd d Vdd???? ? ?????ASA l J S? 源和場的關(guān)系： 。 ? 研究任意一個矢量場都應(yīng)該從散度和旋度兩個方面去進(jìn)行（或通量和環(huán)量）。 ? 因?yàn)閳鍪怯伤脑匆鸬?，所以場的分布由源的分布決定。 ? 任何一個矢量場都必須有源，矢量場的散度對應(yīng)發(fā)散源，矢量場的旋度對應(yīng)旋渦源。亥姆霍茲定理就是對矢量場性質(zhì)的總結(jié)說明。 ? 選定 P1為參考點(diǎn)， P2為任意動點(diǎn)，則 P2點(diǎn)的函數(shù)值可以表示成： ? 如果已知一個無旋場，選定一個參考點(diǎn)，就可求得其標(biāo)量場 u. 221121( ) ( )PPu d d u u P u P? ? ? ? ??? l? 結(jié)論： 亥姆霍茲定理 ? 矢量場的散度、旋度和標(biāo)量場的梯度都是場性質(zhì)的重要度量。 圖32 梯度 ? ? ? ??? ???? ?????? ? ? ? ? l n θ ? l ? ? ? 梯度公式： ? 梯度又可以表示為算子與標(biāo)量函數(shù)相乘： ? 標(biāo)量拉普拉斯算子： ? 直角坐標(biāo)系中標(biāo)量函數(shù)的拉普拉斯表達(dá)式： 2? ? ? ??? 梯度的性質(zhì)： ? 方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影： ? 在標(biāo)量場中任意一點(diǎn) P處的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，或說等值面法線方向就是該點(diǎn)的梯度方向 由此 ， 可將等值面 上任一點(diǎn)單位法向矢量表示為： 0u ull? ? ? ??( , , )u x y z0 uu???n? 梯度的旋度恒等于零： 0u? ? ? ?uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccuc????????????????????????)(39。很明顯，沿等值面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，其距離最短。 解： l方向的方向余弦為 zyxu 22 ??322212c o s322212c o s312211c o s222222222???????????????而 222 )(,2,2zyxzuztyuzxxu ???????????數(shù)量場在 l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231c o sc o sc o szyxzyzxzuyuxulu??????????????????在點(diǎn) M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 324232132131 ?????????Ml?? 梯度 ? 方向?qū)?shù)解決了函數(shù) U(P)在給定點(diǎn)處沿某個方向的變化率問題。 解：點(diǎn) M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點(diǎn)的數(shù)量場值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 l? 方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ? 在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 在點(diǎn) P0（ x0,y0,z0）處可微，則有 ? 點(diǎn) P0至 P點(diǎn)的距離矢量為 若 與 軸的夾角分別為 ,則 同理有 , ? 也稱為 的方向余弦。 ? 方向?qū)?shù) ? 為了研究標(biāo)量函數(shù)在場中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。場中的等值線互不相交。 = ( , , )u u x y zu ( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , ) =u x y z C 例如溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場中的等值面，就是由電位相同的點(diǎn)組成的等位面。在每一個曲面上的各點(diǎn)，雖然坐標(biāo)值不同，但函數(shù)值均為 C。一個標(biāo)量場可以用一個標(biāo)量函數(shù)來表示。 22202222020222020202)c o s2(]c o s2)c o s( si n[c o s)c o s2(s i n)s i n()c o s2()c o s2(s i n)(RdRRdRRdRRdRRdRRdRx d yy d xdl?????????????????????????????????????????????????lA 例 :求矢量場 A=x(zy)ax+y(xz)ay+z(yx)az在點(diǎn) M(1， 0， 1)處的旋度以及沿 n=2ax+6ay+3az方向的環(huán)量面密度 。 yBOxr ＝ 3?A四分之一圓盤 例 ： 求矢量 A=yax+xay+ca
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