矢量分析與場(chǎng)論ppt課件-文庫吧資料
2025-05-05 02:48本頁面
【正文】 z(c是常數(shù) )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 (見圖 16)。 例：已知一矢量場(chǎng) F=axxyayzx, 試求： （ 1） 該矢量場(chǎng)的旋度 。B=0 則有 B= ▽ A ? 斯托克斯定理 矢量分析中另一個(gè)重要定理是 dSr o t Ad Sl ??? ?? lA稱之為斯托克斯定理 ， 其中 S是閉合路徑 l所圍成的面積 ， 它的方向與 l的方向成右手螺旋關(guān)系 。 ? 若旋度不等于 0，則稱該矢量場(chǎng)是有旋的，若旋度等于 0，則稱此矢量場(chǎng)是無旋的或保守的 ? 旋度的一個(gè)重要性質(zhì)： 任意矢量旋度的 散度恒等于零 ， 即 ▽ 旋度為一矢量 。 ? 必存在一個(gè)固定矢量 R，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度， R的方向?yàn)榄h(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。 c o slld A d l?? ? ? ???Al矢量場(chǎng)的環(huán)量 zxyOld lAP?nPl? S 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 矢量場(chǎng)的旋度 ? 1）旋度的定義 設(shè) P為矢量場(chǎng)中的任一點(diǎn) ， 作一個(gè)包含 P點(diǎn)的微小面元 ΔS， 其周界為 l， 它的正向與面元 ΔS的法向矢量 n成右手螺旋關(guān)系 。 為了知道場(chǎng)中每個(gè)點(diǎn)上旋渦源的性質(zhì) ， 引入矢量場(chǎng) 旋度 的概念 。 ? divA≡0的場(chǎng)是連續(xù)的或無散的矢量場(chǎng)。 ? 它描述的是場(chǎng)分量沿各自方向上的變化規(guī)律。 算子與矢性函數(shù) A的點(diǎn)積為一標(biāo)量函數(shù) 。 A與面元 dS的標(biāo)量積稱為矢量場(chǎng) A穿過 dS的通量 c o sd A d S???AS 將曲面 S各面元上的 A 解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222 ???????????zydzxydxyxdyxydx2222????????2221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和 c2是積分常數(shù)。如電力線，磁力線等。（課本 P6） r? rra? 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的單位矢量的轉(zhuǎn)換： s i n c o s c o s c o s s i ns i n s i n c o s s i n c o sc o s s i nxyzaaa?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ?????? ??? ? ? ???? ? ? ?????? ????? ? ?????????????? ? ??????????????????raaa????????????? 面元矢量和體積元： 22sinsinsinrrrd d l d l r d dd d l d l r d rdd d l d l rd rdd V d l d l d l r d rd d??? ? ?? ? ???? ? ????? ? ?????????r r rθφS a aS a aS a a 矢量場(chǎng) 矢量場(chǎng)空間中任意一點(diǎn) P處的矢量可用一個(gè)矢性函數(shù) A=A（ P）來表示。 坐標(biāo)面 表示一個(gè)以 z軸為界的半平面。 ,r ???? 球坐標(biāo)系也有三個(gè)坐標(biāo)面： 表示一個(gè)半徑為 r的球面。三者始終保持正交關(guān)系。 平面 z=常數(shù) 表示一個(gè)平行于xy平面的平面。 ? 平面 表示一個(gè)以 z軸為軸線的半徑為 ? 的圓柱面。 矢量的叉積不服從交換律 ， 但服從分配律 ， 即 A B= B A A (B+C)=A B+A C 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： ax ay=az, ay az=ax, az ax=ay ax ax=ay ay=az az= 0 在直角坐標(biāo)系中， 矢量的 叉積 還可以表示為 zyxzyxBBBAAAzyx aaa?? BA =ax(AyBzAzBy)+ay(AzBxAxBz)+az(AxByAyBx) ya結(jié)論 ? 矢量的加減運(yùn)算同向量的加減，符合平行四邊形法則 ? 任意兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是一個(gè)標(biāo)量，任意兩個(gè)矢量的叉積是一個(gè)矢量 ? 如果兩個(gè)不為 零 的矢量的點(diǎn)積等于 零 ，則這兩個(gè)矢量必然 互相垂直 ? 如果兩個(gè)不為 零 的矢量的叉積等于 零 ，則這兩個(gè)矢量必然 互相平行 圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 ? 圓柱坐標(biāo)系 ? 空間任一點(diǎn) P的位置 可以用圓柱坐標(biāo)系 中的三個(gè)變量 來表示。B+AA AB=AxBx+AyBy+AzBz 標(biāo)量積服從交換律和分配律 ， 即 Aay=azaz=0
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