【正文】 矢量 ne 的取法有兩種情形：一種是 dS 為 開(kāi)曲面 上的一個(gè)面元， ne 的 取法要求圍成開(kāi)曲面的邊界走向與 ne 之間滿足 右手螺旋法則 ；另一種是 dS 為 閉合面 上的一個(gè)面元， ne 一般取 外法線方向 。 矢量場(chǎng)的通量 在分析矢量場(chǎng)性質(zhì)的時(shí)候，矢量場(chǎng)穿過(guò)曲面的通量是一個(gè)重要的概念。 梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則 ( C 為常數(shù)， u ， v 分別為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù) ) ： 0C?? (1 69) uCCu ??? )( (1 70) vuvu ?????? )( (1 71) vuuvuv ????? )( (1 72) 2/)()/( vvuuvvu ????? (1 73) uufuf ???? )()( (1 74) 例 1. 5 ：設(shè)有一點(diǎn)電荷 q 位于球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，求該點(diǎn)電荷在球坐標(biāo)中任一點(diǎn) ),( ??rM 處電位的梯度？ 解： 該點(diǎn)電荷在點(diǎn) ),( ??rM 處的電位函數(shù) ),( ??ru 可表示為： rqru04),(???? ?， 式中 q 為點(diǎn)電荷的電量， 0? 為常數(shù)，所以電位函數(shù)只是 r的函數(shù)而與 ? ， ? 無(wú)關(guān)，即有： 0????u，0????u， 從而： rrrqruu ee204 ???????? u?q 圖 點(diǎn)電荷電位的梯度 如 上圖 所示， u?? 正是位于球坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q在空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，本例題表明，電場(chǎng)中的 電場(chǎng)強(qiáng)度 等于 電位的負(fù)梯度 ，而且電場(chǎng)強(qiáng)度 垂直 于 等位面 ，指向電位 減少 的方向。 在直角坐標(biāo)系中， l 方向的單位矢量 le 為： ??? c o sc o sc o szyxleeee ??? ( 1 62) 那么標(biāo)量場(chǎng) u 沿 l 方向的方向?qū)?shù)可以寫(xiě)為 : ( ) ( )( ) ( c o s c o s c o s )c o s( , )x y z x y zx y z x y zllu u x u y u zl x l y l z lu u u x y zx y z l l lu u uax y z??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?e e e e e ee e e e e eG e G G e ( 1 63) 其中矢量x y zu u ux y z? ? ?? ? ?? ? ?G e e e，它是與方向 l 無(wú)關(guān)的矢量，只有當(dāng)方向 l 與矢量 G 的方向一致時(shí)，上式可取最大值 , 也就是矢量 G 的模 G 。 在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)可表示為： lzzulyyulxxulu????????????????? ( 1 56) 設(shè) l 方向的方向余弦是 ?co s 、 ?c o s 、 ?c o s ，即： ?co s???lx ( 1 57) ?co s???ly ( 1 58) ?c o s???lz ( 1 59) 則可得到在直角坐標(biāo)系中方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxulu??????????? (1 60) 1 . 4 . 2 標(biāo)量 函數(shù) 的 梯度 為了描述標(biāo)量場(chǎng)在哪個(gè)方向變化率最大，需要引入標(biāo)量場(chǎng)的 梯度 的概念。(lim0 ( 1 55) 式中 l? 為 M 點(diǎn)與 39。 39。而與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為： dzddS ???? ( 1 33) dzddS ?? ? ( 1 34) ??? dddSz? ( 1 35) 體積元可表示為： dzdddV ???? ( 1 36) 3 、 球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是 r 、 ? 和 ? ，它們的變化范圍分別是： ??? r0，?? ??0， ?? 20 ?? ( 1 37) yxz0?0Φ球 面0rr ?0?? ?0?? ?re?e?e圓 錐 面半 平 面 圖 球坐標(biāo)系 在球坐標(biāo)系中，任意矢量 A 可寫(xiě)成： rrA A A? ? ? ?? ? ?A e e e ( 1 38) 其中 rA 、 ?A 和 ?A 分別是矢量 A 在 re 、 ?e 和 ?e 方向上的投影， 球坐標(biāo)系中的位置矢量為 rr?Re ( 1 39) 它的微分元可表示為： ( ) si nrrd d r dr rd r d??? ? ?? ? ? ?R e e e e ( 1 40) 它沿球坐標(biāo)方向的三個(gè)長(zhǎng)度微分元分別為 dr 、 ?rd 和?? dr s i n ，如圖 所示。 在圓柱坐標(biāo)系中，任意矢量 A 均可用這三個(gè)單位矢量寫(xiě)成分量形式： zzA A A? ? ? ?? ? ?A e e e ( 1 30) 其中 ?A 、 ?A 和 zA 分別是矢量 A 在 ?e 、 ?e 和 ze 方向上的投影。直角坐標(biāo)系中的任一矢量 A 可表示為如下形式： x x y y z zA A A? ? ?A e e e ( 1 22) 其中 xA 、 yA 和 zA 分別是矢量 A 在 xe 、 ye 和 ze 方向上的投影。 xyzzexeye平 面平 面平 面M0zz ?0xx ?0yy ? 圖 直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量分別是 x ， y ， z ，它們的變化范圍分別是： ?????? x， ?????? y ，?????? z ( 1 21) 若空間中任一點(diǎn) M 的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分量確定，假設(shè)為（ 0x ， 0y ， 0z ） , 則點(diǎn) M 即是 0xx ? 平面、 0yy ? 平面和 0zz ? 平面的交點(diǎn) , 見(jiàn)圖 ，在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸方向的單位矢量分別為 xe 、 ye 和 ze ，它們相互垂直正交，且符合右手螺旋關(guān)系。 在直角坐標(biāo)系中各單位坐標(biāo)矢量的叉積滿足如下關(guān)系： x y zy z xz x y? ??????????e e ee e ee e e ( 1 14) 000xxyyzz???????????eeeeee ( 1 15) 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的叉積為： x y zx y zx y ZA A AB B B??e e eAB (1 16) 根據(jù)叉積的定義，可推導(dǎo)出： ? ? ? ?A B B A (1 17) ()? ? ? ? ? ?A B C A B A C （結(jié)合律） (1 18) 矢量 A 與矢量 () ?BC 的點(diǎn)積稱(chēng)為標(biāo)量三重積，矢量 A 與矢量 () ?BC 的叉積稱(chēng)為矢量三重積，它們具有如下性質(zhì)： ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?A B C B C A C A B (1 19) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?A B C B A C C A B ( 1 20) 例 1. 4 已知空間兩矢量 1 0 1x y z? ? ?A e e e， 0 1 1x y z? ? ?B e e e，求它們之間的點(diǎn)積、叉積和兩矢量之間的夾角？ 解 ：根據(jù)點(diǎn)積、叉積的相關(guān)定義，可得： 1 0 0 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ?AB ， 1 0 10 1 1x y zx y z? ? ? ? ? ?e e eA B e e e， 11c o s222??? ? ??ABAB, 所以兩矢量的夾角 060?? 。如圖 所示， R 是以 P ? 為起點(diǎn) , P 為終點(diǎn)的空間矢量，其模表示 P 相對(duì)于 P ? 的距離，其方向表示 P 點(diǎn)相對(duì)于 P ?點(diǎn)所處的方位，類(lèi)比于位置矢量 , 稱(chēng) R 為 P 相對(duì)于 P ? 的相對(duì)